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  Hypergeometrische Verteilung / bedingte Wahrscheinlichkeiten |
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Sekorita
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Mitteilungen: 485
 |  Themenstart: 2022-12-13
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_Hilfe_80.JPG
Hallo zusammen,
ich habe wieder ein neues AB bekommen und wollte fragen, ob meine Lösung bzw. Ansatz korrekt sind:
zu a)
Es gibt die Möglichkeit zwei schwarze Socken zu ziehen oder zwei weiße Zocken
zu ziehen, wenn ich gleichfarbige Socken ziehen möchte.
Die vorliegende Situation lässt sich als Urnenmodell ohne Zurücklegen modellieren.
Sei nun \Omega:= {(\omega_1,\omega_2) : \omega_1,\omega_2) \el\ {s,w}} wobei s für einen schwarzen Socken und w für einen weißen Socken steht.
(Kann ich das Omega so schreiben ?)
Im ersten Schritt möchte ich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A:= "2 schwarze Socken" also P({2 schwarze Socken}) herausfinden
Sei nun X eine Zufallsvariable mit X:= (Anzahl der schwarzen Socken), dann ist nach der hypergeometrischen Verteilung:
P(X=2) = ((s;2) * (w;2-2=0)) / (w+s;2)
= (s;2) / (w+s;2)
Und analog ist Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis B:= "zwei weiße Socken" mit Zufallsvariable Y:= ( Anzahl der weißen Socken)
P(Y=2) = (w;2) / ((w+s);2)
-> Damit folgt, dass die Wahrscheinlichkeit für "zwei gleichfarbige Socken" = P(A)+ P(B) = (s;2) / (w+s;2) + (w;2) / ((w+s);2)
= ((s;2) + (w;2)) / ((w+s);2)
Für Verbesserungen insbesondere von Formalia bin ich sehr dankbar :)
zu b)
Sei nun Omega so wie oben. Ich interessiere mich erneut für zwei Ereignisse,
jedoch ist jetzt A:= "2 schwarze Socke Werden gezogen" und A^- := "keine 2 schwarzen Socken werden gezogen", bzw. "2 Weiße Socken werden gezogen".
Sei nun X:= "schwarze Socke wird gezogen" mit X:= \Omega -> {0,1} wobei die 0 für einen "Misserfolg" also das ziehen einer weißen Socke steht und 1 für einen Erfolg, also das Ziehen einer schwarzen Socke steht.
um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C:= "zwei gleichfarbige Socken werden gezogen" herauszufinden brauche ich,
P(A) + P(B) = P(C)
-> P(X=1, X=1) + P(X=0, X=0) = P(C)
Nun ist P(X=1 , X=1) = (s/(s+w)) * (s-1)/(s+w-1) = (s*(s-1)) / ((s+w)^2 - sw)
und analog P(X=0, X=0) = (w*(w-1)) / ((s+w)^2 - sw)
-> ((w*(w-1)) + (s*(s-1)))/ ((s+w)^2 - sw)
Wenn ich mich nicht vertan habe, sollte damit genau das gleiche rauskommen, was ich bei a) habe, wenn ich den Binominalkoeffizient ausschreibe / rechne.
Ist das so korrekt und wo habe ich wohlmöglich Formfehler begannen ?
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-13
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\quoteon(2022-12-13 14:19 - Sekorita im Themenstart)
Sei nun \Omega:= {(\omega_1,\omega_2) : \omega_1, \omega_2 \el\ {s,w}} wobei s für einen schwarzen Socken und w für einen weißen Socken steht.
(Kann ich das Omega so schreiben ?)
\quoteoff
Das halte ich für keine so gute Idee. Zu einem W'keitsraum gehört ja immer auch die Angabe der W'keiten der Elementarereignissen. Darüber hast du nichts gesagt - und damit wäre die Aufgabe ja praktisch schon gelöst.
Besser vielleicht:
\(\Omega=\{\{\omega_1,\omega_2\}:1\leq\omega_1<\omega_2\leq w+s\}\)
Dann ist \(P(\{\omega_1,\omega_2\})=1/\binom{w+s}{2}\)
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Sekorita
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-13
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Hey, stimmt das habe ich außer Acht gelassen,
1/(w+s;2), weil die Mächtigkeit von meinem \Omega ja (w+s;2) ist, korrekt ?
Dann muss ich ja nur noch dazusagen, dass ich hier die Gleichverteilung anwende.
Passt denn danach der Rest, auch wie ich das mit den Zufallsvariablen formuliert habe ?
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StrgAltEntf
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-13
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\quoteon(2022-12-13 17:53 - Sekorita in Beitrag No. 2)
Hey, stimmt das habe ich außer Acht gelassen,
1/(w+s;2), weil die Mächtigkeit von meinem \Omega ja (w+s;2) ist, korrekt ?
Dann muss ich ja nur noch dazusagen, dass ich hier die Gleichverteilung anwende.
\quoteoff
Ja, du musst dir überlegen, dass die Elementarereignisse tatsächlich gleichwahrscheinlich sind. (Bei deinem Versuch aus dem Themenstart wäre ja \(|\Omega|=4\). Aber es gilt für die Elementarereignisse nicht, dass die W'keiten gleich \(\frac14\) sind.)
Dass hier die Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, musst du wohl "postulieren". ("Dazusagen" ist also schon in Ordnung.) Mathematisch beweisen kann man das m. E. nicht.
@all: sieht das jemand anders?
Das mit den Zufallsvariablen ist wohl okay.
Wie b gemeint ist, kann ich leider nicht beantworten.
PS: Die Aufgabenstellung ist witzig! Die Socken lieben in der Schublade 😄
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Sekorita
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Dabei seit: 26.10.2021
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-13
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Vielen Dank für deine Antwort ;) Das sie gleichwahrscheinlich sind, habe ich einfach analog aus einer anderen Beispielaufgabe des Skriptes "geklaut".
Vielleicht weiß ja jemand anderes Rat bei der b) 😃
Stimmt, das ist mir noch gar nicht aufgefallen 😁
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Caban
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-13
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Hallo
Ich denke, bei b ist gemeint, dass du zur Berechnung die Wahrscheinlichkeit benutzen sollst, unter der die zweite Socke weiß ist unter der Bedingung, dass die erste weiß ist.
Gruß Caban
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Sekorita
Aktiv
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-14
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Hallo Caban,
aber genau das habe ich in b) doch gemacht, oder ?
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-12-14
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Hallo
Ja, ich denke, dass das so gemeint ist.
Gruß Caban
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Sekorita
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Dabei seit: 26.10.2021
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-14
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Achso :) Danke für deine Antwort, dann sollte das ja erledigt sein :)
Wenn jemand von euch Zeit, Lust und Rat hat, hätte ich noch 2 weitere Aufgaben, die mir ein paar Probleme bereiten.
hier
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Viele Dank für eure Hilfe und eine schöne Weihnachtszeit :😄
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Sekorita hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sekorita hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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