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| Autor |
 Grenzwert einer Folge gegen Arcustangens |
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MarielleS
Neu 
Dabei seit: 15.12.2022
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2022-12-15
|
Hallo Zusammen,
ich komme leider bei dieser Aufgabe nicht weiter:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/56042_Tangens.PNG
Aus der vorherigen Aufgabe weiß ich, dass
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/56042_tangens2.PNG
Was mich verwirrt, ist der Grenzwert gegen arctan.
Ich dachte vielleicht daran, dass der Grenzwert die Taylorreihe vom arctan ist und man so darauf kommt,
aber leider bin ich da total planlos, alleine schon bei der Bestimmung von x(n).
Formal würde ja aus der vorherigen Aufgabe x(n) = tan(n) passen,
dann verwirrt mich aber, dass x(1) = x sein muss.
Ich freue mich auf jede Hilfe und Lösungsansätze :).
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2242
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-15
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
die Aussage
$$
\lim_{n\to \infty} 2^nx_n=\arctan(x)
$$
bedeutet ja nichts anderes als
$$
\tan\left(\lim_{n\to \infty} 2^nx_n\right)=x.
$$
Hilft dir diese Umformulierung bereits weiter?
LG Nico\(\endgroup\)
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MarielleS
Neu
Dabei seit: 15.12.2022
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-15
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\quoteon(2022-12-15 19:20 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Hallo,
die Aussage
$$
\lim_{n\to \infty} 2^nx_n=\arctan(x)
$$
bedeutet ja nichts anderes als
$$
\tan\left(\lim_{n\to \infty} 2^nx_n\right)=x.
$$
Hilft dir diese Umformulierung bereits weiter?
LG Nico
\quoteoff
Danke für die schnelle Antwort ^^.
Leider bringt mich diese Umformulierung nicht wirklich weiter...
Ich denke eines meiner Probleme ist auch zu verstehen, was genau das 2^n dort sucht...
Ich muss also zeigen, dass der Tangens dieses Grenzwertes x ergibt, aber wie soll ich das machen?
Ich kann mir ja nicht einmal die Folge x(n) vorstellen, da tan(n) keinen Sinn ergibt, das aber das einzige ist, was ich aus der Aufgabe zuvor entnehmen kann ^^.
LG Marielle
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2570
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-15
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Huhu Marielle,
bitte benutze \(\LaTeX\).
Für jedes \(x\in \mathbb{R}\) existiert ein \(\theta_0\) mit \(-\frac{\pi}{2}\leq \theta_0 \le \frac{\pi}{2}\) und \(\tan \theta_0 = x\). Nutzt du nun also wiederholt deine vorherige Aufgabe, so erhalten wir \(x_n=\tan\left(\frac{\theta_0}{2^n}\right)\). Es verbleibt also den Grenzwert \(\lim\limits_{n\to\infty}2^n\tan\left(\frac{\theta_0}{2^n}\right)\) zu berechnen. Viel Erfolg!
Gruß,
Küstenkind
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MarielleS
Neu
Dabei seit: 15.12.2022
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-15
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\quoteon(2022-12-15 20:41 - Kuestenkind in Beitrag No. 3)
Huhu Marielle,
bitte benutze \(\LaTeX\).
Für jedes \(x\in \mathbb{R}\) existiert ein \(\theta_0\) mit \(-\frac{\pi}{2}\leq \theta_0 \le \frac{\pi}{2}\) und \(\tan \theta_0 = x\). Nutzt du nun also wiederholt deine vorherige Aufgabe, so erhalten wir \(x_n=\tan\left(\frac{\theta_0}{2^n}\right)\). Es verbleibt also den Grenzwert \(\lim\limits_{n\to\infty}2^n\tan\left(\frac{\theta_0}{2^n}\right)\) zu berechnen. Viel Erfolg!
Gruß,
Küstenkind
\quoteoff
Hallöchen Küstenkind,
ich glaube jetzt habe ich es verstanden!
Ich habe den Grenzwert erfolgreich berechnet und es kommt das zu zeigende Ergebnis heraus.
Sollte die Folge aber nicht \(x_n=\tan\left(\frac{\theta_0}{2^{n-1}}\right)\) heißen, damit \(x_1=\tan\left(\theta_0\right)\) gilt?
Beziehungsweise die Definition für \(\theta_0\) ändern, sodass es
"Für jedes \(x\in \mathbb{R}\) existiert ein \(\frac{\theta_0}{2}\) mit \(-\frac{\pi}{2}\leq \frac{\theta_0}{2} \le \frac{\pi}{2}\) und \(\tan \frac{\theta_0}{2} = x\)."
heißt?
Liebe Grüße,
Marielle
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