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 Kegelschnitt identifizieren |
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EuskiPeuski712
Wenig Aktiv 
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Mitteilungen: 91
 |  Themenstart: 2023-01-07
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Hallo Leute,
ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
Sei g eine Gerade in \(\IR²\) und P ein Punkt in \(\IR²\) mit \(P\neq g\). Zeigen Sie, dass die Menge \(K=\{(x,y)\in\IR² : ||(x,y)-P||=2d((x,y),g)\}\) ein nicht ausgearteter Kegelschnitt ist und bestimmen Sie ihren Typen.
Nun meine Idee:
Seien \(P=(p_1,p_2)\) und \(a=d((x,y),g)\), dann gilt:
\(||(x,y)-(p_1,p_2)||=||(x-p_1,y-p_2)||=2a \Leftrightarrow ||(x-p_1,y-p_2)||²=4a² \Leftrightarrow x²+y²-2p_1x-2p_2y+p_1²+p_2²=4a²\).
Dann sieht das schon mal nach einer Quadrik aus, wonach ich dann aus x² und y² eine Matrix A zur Bestimmung der Eigenwerte erstellen wollte. Dann erhalte ich aber nur die Einheitsmatrix sowie nur einen Eigenwert.
Ist das überhaupt der richtige Weg? Rein von der Definition sieht es eher aus wie eine Hyperbel, wüsste aber nicht, wie ich das genau zeigen soll. Hätte jemand eine Idee oder einen Hinweis, wie ich meinen Lösungsweg verbessern kann?
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go361
Aktiv 
Dabei seit: 21.06.2022
Mitteilungen: 58
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-07
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\bN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\bC}{\mathbb{C}}
\)
Dein $a$ hängt ja auch noch von $x,y$ ab. Das wirst du noch auflösen müssen. Könnt' ja theoretisch sein, dass $a$ so kompliziert von $x,y$ abhängt, dass es nicht mehr qudratisch ist.
Wenn du es dir einfacher machen willst, begründe erst, wieso du o.B.d.A. annehmen kannst, dass $g$ die $x$-Achse und $P$ ein Punkt auf der $y$-Achse ist. (Du könntest sogar soweit gehen, dass $P=(0,1)$ ist.)\(\endgroup\)
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EuskiPeuski712
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Mitteilungen: 91
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-09
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Danke dir für die Antwort.
Ich hab den ersten Weg zunächst probiert und bin davon ausgegangen, dass g in hessescher Normalform mit Normaleneinheitsvektor v ist. Dann hätte ich \(d((x,y),g)=|-c|=|v_1x+v_2y-c|. Dann habe ich aber leider immer noch das Problem, dass die symmetrische Matrix, die ich über die Quadrik bestimme, weiterhin die Einheitsmatrix ist.
Zu deinem zweiten Lösungsvorschlag: Man könnte das o.B.d.A annehmen für den Fall, dass der Kegelschnitt in Normalform ist, andernfalls führt man einfach eine Kongruenzabbildung der Gerade durch. Oder ? Ergibt das Sinn ? ^^
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Wario
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Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1204
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-09
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\quoteon(2023-01-07 20:20 - EuskiPeuski712 im Themenstart)
\( ||(x,y)-P||\)
\quoteoff
Kleiner Hinweis: die schönen Normstriche werden mit '\|' (nicht '||') gesetzt: $\|(x,y)-P\|$
Das wird auch bei \left\| ... \right\| relevant.
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EuskiPeuski712
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Mitteilungen: 91
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-09
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Ah danke für den Hinweis. Hier war ich tatsächlich zu faul, weil ich jedes Mal vergesse, wie man das ordentlich in Latex eingibt ^^
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
go361
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Mitteilungen: 58
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-11
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\bN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\bC}{\mathbb{C}}
\)
\quoteon(2023-01-09 17:22 - EuskiPeuski712 in Beitrag No. 2)
Ich hab den ersten Weg zunächst probiert und bin davon ausgegangen, dass g in hessescher Normalform mit Normaleneinheitsvektor v ist. Dann hätte ich \(d((x,y),g)=|-c|=|v_1x+v_2y-c|.
\quoteoff
Ja, und das jetzt einsetzen gibt ein einziges quadratisches Polynom.
\quoteon(2023-01-09 17:22 - EuskiPeuski712 in Beitrag No. 2)
Dann habe ich aber leider immer noch das Problem, dass die symmetrische Matrix, die ich über die Quadrik bestimme, weiterhin die Einheitsmatrix ist.
\quoteoff
Vielleicht denken wir gerade an verschiedene Matrizen... Welche genau meinst du hier?
Da du affin arbeitest, meinst du die, die man aus den Koeffizienten der quadratischen Terme bekommt? Falls ja, sollte das Quadrieren von $d((x,y), g)$ ja ein gemischter $xy$-Term erzeugen. Und auch die Diagonalelemente sind nicht dann nicht mehr $1$, wenn ich es richtig sehe.
Schreib' doch am besten einmal das fertige, ausmultiplizierte und zusammengefasste Polynom auf, das rauskommt, und welche Koeffizientenmatrix dazu gehört.
\quoteon(2023-01-09 17:22 - EuskiPeuski712 in Beitrag No. 2)
Zu deinem zweiten Lösungsvorschlag: Man könnte das o.B.d.A annehmen für den Fall, dass der Kegelschnitt in Normalform ist, andernfalls führt man einfach eine Kongruenzabbildung der Gerade durch. Oder ? Ergibt das Sinn ? ^^
\quoteoff
Ja, klingt richtig! Aber nicht nur eine Abbildung der Geraden, sondern auch des Punktes. (Bzw. gleich der ganzen Ebene.)
(Ich weiß aber nicht, was du mit Normalform meinst. Wie habt ihr die definiert?) \(\endgroup\)
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