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 Ableitung von Sinus berechnen |
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oberstuflerin123
Aktiv 
Dabei seit: 09.02.2022
Mitteilungen: 38
 |  Themenstart: 2023-01-14
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Hi,
ich habe folgende Aufgabe:
Berechnen Sie \(\frac{d}{dx}sin(x)\). Verwenden Sie dafür keine Formelsammlung. Alle von Ihnen genutzten Formeln müssen Sie selbst beweisen. Sie dürfen nur die Eigenschaften von sin, cos, tan im Einheitskreis benutzten.
OK, dann hab ich mich mal ans Werk gemacht:\[
\frac{d}{dx}\sin(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}
\]An dieser Stelle wäre ein Additionstheorem hilfreich. Also habe ich das Additionstheorem bewiesen. Den Beweis hab ich mit einer Skizze und dem Einheitskreis gemacht. Nachdem ich fertig war, habe ich hier einen ähnlichen Beweis gefunden. Damit ging es dann weiter:
\[ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin(x)\cos(h)+\sin(h)\cos(x)-\sin(x)}{h}\\
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin(x)(\cos(h)-1)+\sin(h)\cos(x)}{h}\\
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(h)\cos(x)}{h}\\
=\sin(x)\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(\cos(h)-1)}{h}+\cos(x)\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(h)}{h}\]
Das sieht doch mal ganz nett aus, nun habe ich gezeigt, dass \(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(h)}{h}=1\) gilt. Dazu habe ich erst mal \(\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{\sin(h)}{h}\) berechnet. Dazu habe ich den Wert h erst mal auf das Interval \((0,\frac{\pi}{2})\) eingeschränkt.
Anschließend habe ich die folgenden Flächen in meiner Skizze (https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55380_t.jpg) Berechnet:
Die Fläche des Dreiecks ABC (blau schraffiert):\[
A_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sin(h) = \frac{\sin(h)}{2}
\]
Die Fläche des Kreisbogens ABC (grün schraffiert):\[
A_{\text{Kreisbogen: }ABC} = \frac{h}{2\pi}\cdot\pi\cdot r^2 = \frac{h}{2\pi}\cdot\pi\cdot 1=\frac{h}{2\pi}\cdot\pi =\frac{h}{2}\]
Die Fläche des Dreiecks ABD (rosa gerade schraffiert):\[
A_{\Delta ABD} = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot \tan(h) = \frac{\tan(h)}{2}\]
Die Flächen sind jeweils Teilflächen der anderen, damit gilt trivialerweise:\[
\frac{\sin(h)}{2}\leq\frac{h}{2}\leq\frac{\tan(h)}{2}\\
\Rightarrow \sin(h)\leq h\leq\tan(h)\\
\Rightarrow \frac{1}{\sin(h)}\geq \frac{1}{h}\geq\frac{\cos(h)}{\sin(h)}\\
\Rightarrow \frac{\sin(h)}{\sin(h)}\geq \frac{\sin(h)}{h}\geq\frac{\cos(h)\cdot\sin(h)}{\sin(h)}\\
\Rightarrow 1 \geq \frac{\sin(h)}{h}\geq\cos(h)\\
\]
Jetzt habe ich \(\frac{\sin(h)}{h}\) schön gesandwiched und kann den Limes berechnen:\[
\lim_{h\rightarrow 0}1 \geq \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(h)}{h}\geq \lim_{h\rightarrow 0} \cos(h)\\
\Rightarrow 1 \geq \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(h)}{h}\geq 1\\
\Rightarrow 1=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(h)}{h}
\]
Damit bin ich mit meiner Ableitung etwas weiter, ich kann jetzt schon schreiben:\[\frac{d}{dx}\sin(x) = \dots = =\sin(x)\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(\cos(h)-1)}{h}+\cos(x)
\]
Jetzt verbleibt mir aber noch zu zeigen, dass \(\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(\cos(h)-1)}{h}=0\) gilt, sonst ist der Beweis unvollständig. Und irgendwie komme ich da nicht weiter! Kann mir jemand einen Denkanstoß geben?
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2570
|  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-14
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Huhu oberstuflerin123,
ich habe mir deinen Text nicht wirklich durchgelesen. Für den letzten Grenzwert erweitere mit \(\cos(h)+1\).
Gruß,
Küstenkind
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oberstuflerin123
Aktiv
Dabei seit: 09.02.2022
Mitteilungen: 38
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-14
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OK, komme mir gerade doof vor, dann wird es einfach:
\[
\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos(h)-1}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos^2(h)-1}{h\cdot (\cos(h)+1)}\\
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos^2(h)+\sin^2(h)-\sin^2(h)-1}{h\cdot (\cos(h)+1)}\\
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{1-\sin^2(h)-1}{h\cdot (\cos(h)+1)}\\
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{-\sin^2(h)}{h\cdot (\cos(h)+1)}\\
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{sin(h)}{h}\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\cdot \frac{-\sin(h)}{\cos(h)+1}\\
= 1\cdot\frac{0}{1+1} = 1\cdot 0=0\]
Mir ist übrigens aufgefallen, dass ich oben zwei Fehlerchen gemacht habe:
1) Ich habe geschrieben limes h gegen 0, wobei ich eigentlich meinte, limes h gegen 0^+. Ich habe nur den Limes berechnet, wenn h sich von oben der Null annähert.
2) Ich habe vergessen, den Limes von unten zu berechnen, das ist allerdings sehr einfach:\[
\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{\sin(h)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{\sin(-h)}{-h} = \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{-\sin(h)}{-h}= \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{\sin(h)}{h}=1
\]
@Kuestenkind: Vielen Dank für deine Hilfe.
Abschließend: Hat irgendjemand noch einen Denkfehler gefunden? Kann man das so vorstellen, wenn viele Menschen im Raum sind und man keine Fehler machen will?
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AlphaSigma
Senior
Dabei seit: 23.11.2012
Mitteilungen: 415
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-14
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Hallo oberstuflerin123,
wenn man die Forderung "Alle von Ihnen genutzten Formeln müssen Sie selbst beweisen. Sie dürfen nur die Eigenschaften von sin, cos, tan im Einheitskreis benutzten." genau nimmt, müsstest Du auch noch \(\sin^2(h)+\cos^2(h)=1\) beweisen, was Du von der 2. zur 3. Zeile in Beitrag No. 2 verwendet hast.
VG
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lula
Senior
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11480
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-01-14
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@AlphaSigma
sin^2+cos^2=1 ist eine Eigenschaft am Einheitskreis!
lula
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oberstuflerin123
Aktiv
Dabei seit: 09.02.2022
Mitteilungen: 38
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-16
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@AlphaSigma: Wie lula schon sagte, ist dass eine Eigenschaft am Einheitskreis. Der Satz des Pythagoras ist ja schließlich auch bekannt und falls nicht, könnte ich den recht schnell mit dem Garfield-Beweis zeigen (nicht zu fassen, dass die Amis mal schlaue Präsidenten hatten...), den kann ich ohnehin auswändig.
Aber dank dir habe ich entdeckt, dass ich sin(-x)=-sin(x) noch am Einheitskreis zeigen muss, was aber auch recht einfach ist.
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| oberstuflerin123 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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