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  Grenzwert von oben gegen 0 Cosinus-Funktion |
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LeonieMath
Aktiv 
Dabei seit: 18.01.2023
Mitteilungen: 27
 |  Themenstart: 2023-01-20
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56119_095A9B0C-02B4-4D6B-8A6D-8E70D2153A8C.jpeg
Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe, wie auf dem Blatt zu sehen, nicht weiter. Ich habe die Indexverschiebung gemacht, in der Hoffnung, auf Grund der Stetigkeit von cos und exp in die Reihen 0 einzusetzen und so einen Wert für den Limes zu erhalten. Leider würde ich dann im Nenner durch 0 teilen, da 1-1= 0. Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen, habe leider keine Idee, wie ich weiter vorgehen sollte.
P.s: n ist natürlich gleich k, habe vergessen es anzugleichen ;)
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thureduehrsen
Senior 
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 1490
Wohnort: Kiel, Deutschland
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-20
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Hallo LeonieMath, und willkommen auf dem Matheplaneten!
Diese Aufgabe schreit doch förmlich nach L'Hospital.
Dürft ihr das benutzen?
mfg
thureduehrsen
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LeonieMath
Aktiv
Dabei seit: 18.01.2023
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Das werde ich sofort mal ausprobieren, danke!
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4610
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 17:26 - thureduehrsen in Beitrag No. 1)
Diese Aufgabe schreit doch förmlich nach L'Hospital.
\quoteoff
Der Ansatz über Potenzreihen aus dem Startbeitrag funktioniert aber auch problemlos:$$
{1-\cos(\sqrt x)\over e^x-e^{-x}} =
{1-\left[1-{\sqrt x\,^2\over2}+\ldots\right]\over
\bigl[1+x+\cdots\bigr]-\bigl[1-x+\cdots\bigr]} =
{\frac x2+\cdots\over2x+\cdots} \to \frac14$$--zippy
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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LeonieMath
Aktiv
Dabei seit: 18.01.2023
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Hallo zippy, danke für deinen Beitrag. Deinen Lösungsweg kann ich voll nachvollziehen. Jetzt stellt sich mir die Frage: Warum kann man die restlichen Summanden beider Reihen vernachlässigen? Denn würde man die Summe weiter ausschreiben, könnte man nicht mehr so einfach vereinfachen - auch wenn die Summanden im unendlichen sehr klein werden!
Viele Grüße, Leonie
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4610
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 17:51 - LeonieMath in Beitrag No. 4)
Warum kann man die restlichen Summanden beider Reihen vernachlässigen? \quoteoff
Die muss man nicht betrachten, weil sie nach der Division durch die führende Potenz des Nenners im Grenzwert verschwinden. Das sieht man wahrscheinlich am besten, wenn man ein paar weitere Summanden hinschreibt:$$
\begin{align*}
{1-\cos(\sqrt x)\over e^x-e^{-x}} &=
{1-\left[1-{\sqrt x\,^2\over2}+{\sqrt x\,^4\over24}+\ldots\right]\over
\left[1+x+{x^2\over2}+{x^3\over6}+\ldots\right]-
\left[1-x+{x^2\over2}-{x^3\over6}+\ldots\right]} \\[1.8ex] &=
{{x\over2}-{x^2\over24}+\ldots\over2x+{x^3\over3}+\ldots} \\[1.8ex] &=
{{1\over2}-{x\over24}+\ldots\over2+{x^2\over3}+\ldots} \to
{{1\over2}\over2} = \frac14
\end{align*}
$$Man muss also Zähler und Nenner nur bis zur jeweils niedrigsten nicht verschwindenden Potenz entwickeln.
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LeonieMath
Aktiv
Dabei seit: 18.01.2023
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Super, das ist total nachvollziehbar!
Dir noch einen schönen Abend ;)
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2566
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-01-20
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Wenn man den Zähler zum dritten Binom erweitert, geht es um zwei recht bekannte Grenzwerte. Mit \(x \mapsto x^2\):
\(\displaystyle \frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}{2\sinh(x^2)(1+\cos(x))}=\frac{1}{2(1+\cos(x))}\cdot \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2\cdot \frac{x^2}{\sinh(x^2)} \)
\(\frac{\sin(x)}{x}\) für \(x\to 0\) ist dir bestimmt schon über den Weg gelaufen, wie es mit \(\frac{\sinh(x)}{x}\) ist, weiß ich aber nicht.
Gruß,
Küstenkind
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LeonieMath
Aktiv
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Mitteilungen: 27
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-26
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Danke dir für deine Antwort KuestenKind ;)
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2023-05-30 16:46 U
2023-05-30 15:43 S <
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