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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Abstrakte Volumenfunktion
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Universität/Hochschule Abstrakte Volumenfunktion
Sir_Zotto
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  Themenstart: 2023-01-24 16:09

Hallo an Alle: Ich habe eine Aufgabe in Lineare Algebra bekommen wo ich mir sehr schwer tue und hoffe dass ihr mehr helfen könnt: Es seien K ein Körper und V ein n-dim. K-Vektorraum. U ist ein r-dim. linearer Unterraum von V. Und x_r+1 , …. , x_n ein gegebenes System von Vektoren in V. Für eine Volumenfunktion f: V^n—>K zeige man, dass sich durch f_u (a_1, …, a_r) := f (a_1 , …. , a_r , x_r+1 , …. , x_n) eine Volumenfunktion f_u : U^r—>K definieren lässt. Wann ist f_u nicht-trivial? Für mich ist völlig logisch, dass wenn zb a_1= a_r gelten würde, dass beide Funktionen gleich 0 sind. Aber ich kann mir einfach nicht vorstellen wie die beiden Funktionen gleich groß sein können aber nicht gleich 0.🤯 Ich Freue mich um jede Hilfe, Danke im Vorraus!😁


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thureduehrsen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-24 19:07

Hallo Sir_Zotto, wärst du so nett, mal die Bedingungen für eine abstrakte Volumenfunktion, die ihr in der Vorlesung benutzt, hier hinzuschreiben und insb. die Unterschiede zwischen einer abstrakten Volumenfunktion und einer Determinantenfunktion herauszuarbeiten? mfg thureduehrsen


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Sir_Zotto
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-24 19:30

Ja natürlich: Sei R ein kommutativer Ring; eine abb. f: (R^n)^n—-> R ist eine abstrakte Volumenfunktion auf R^n falls gilt: 1) Für r,w aus R und z_j , z`_j aus R^n ist f(…,r*z_j + w*z`_j , ….)=r*f(…, z_j , …) + w*f(…, z`_j , ….) 2) ist z_i = z_j in R^n mit i≠j, so ist f(z_1,….,z_n)=0 Somit wäre die determinante eine komplexe Volumenfunktion.


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thureduehrsen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-24 19:37

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) Wo genau liegen denn nun deine Schwierigkeiten, nachzuweisen, dass \(f_u\) eine Volumenfunktion auf \(U\) ist? mfg thureduehrsen\(\endgroup\)


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Sir_Zotto
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-24 19:49

Also ja da beginnt es schonmal. Aber auch bei dem „nicht trivial“-Teil. Ich stell mir nicht trivial in diesem Kontext folgendermaßen vor: wenn die volumenfunktion nicht trivial ist so ist sie nicht identisch zu 0. Bei Volumenfuntkionen würde, dass ja heißen wenn zwei vektoren NICHT identisch sind oder NICHT der Nullvektor sind. Also dann sind sie nicht trivial, oder? Also um es kurz zu fassen ich tu mir generell bei dieser Fragestellung schwer und bei der formulierung der Funktionen f_u und f. (Volumenfunktionen bei determinanten scheint mir aber sehr verständlich (hoff ich zumindest😂))


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thureduehrsen
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  Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-24 20:16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) \quoteon(2023-01-24 19:49 - Sir_Zotto in Beitrag No. 4) Bei Volumenfuntkionen würde, dass ja heißen wenn zwei vektoren NICHT identisch sind oder NICHT der Nullvektor sind. Also dann sind sie nicht trivial, oder? \quoteoff Ich habe die Frage nicht verstanden. Ich weiß nicht, was du unter einem nichttrivialen Vektor verstehst. \quoteon Also um es kurz zu fassen ich tu mir generell bei dieser Fragestellung schwer und bei der formulierung der Funktionen f_u und f. (Volumenfunktionen bei determinanten scheint mir aber sehr verständlich (hoff ich zumindest😂)) \quoteoff Aber die Funktion \(f\) ist als Volumenfunktion auf \(V\) vorgegeben und dass \(f_u\) eine Volumenfunktion auf \(U\) ist, sollst du zeigen. Stecke mal mehr Energie in das saubere Formulieren dessen, was zu zeigen ist. So richtig schön mit einer nummerierten Liste, die du abarbeiten kannst. mfg thureduehrsen\(\endgroup\)


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Sir_Zotto
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-24 20:35

Sorry, wenn ich mich nicht so klar formuliert habe. Was ich eigentlich fragen wollte bzgl „nicht trivial“, war, ab wann ist eine Volumenfunktion nicht trivial? Ich habe gedacht sie ist nicht trivial wenn sie nicht identisch zu 0 ist. Stimmt meine Vermutung? PS: Zusätzlich habe ich in der Zwischenzeit einen Beweis ausgearbeitet, dass f_u eine Volumenfunktion ist. Ich hoffe man kann das Foto sehen bzw der Beweis stimmt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56040_0DD7C2B2-9CC9-46D4-9D6A-4B9B2EB8D414.jpeg Mfg


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Sir_Zotto
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-24 20:37

*für f habe ich Delta hergenommen*


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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kitaktus
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  Beitrag No.8, eingetragen 2023-01-25 13:19

Ich sehe gerade, dass ich meine Antwort nicht abgeschickt habe. Das hole ich hiermit nach, ohne die Zeit zu haben, sie auf den Stand des Fadens anzupassen .. \quoteon(2023-01-24 16:09 - Sir_Zotto im Themenstart) Aber ich kann mir einfach nicht vorstellen wie die beiden Funktionen gleich groß sein können aber nicht gleich 0.🤯 \quoteoff Von welchen "beiden" Funktionen sprichst Du? $f$ ist gegeben und $f_U$ wird davon abgeleitet, also gerade so definiert, dass Gleichheit gilt... Gib bitte mal die Eigenschaften einer "Volumenfunktion" an. Spontan würde ich so etwas antworten wie "die $x_k$ müssen zusammen mit einer Basis von $U$ ganz $V$ aufspannen"(*), aber da der Begriff "Volumenfunktion" (zumindest mir) nicht so geläufig ist, kann ich das ohne Definition nicht genauer beantworten (*) Das heißt implizit, dass die $x_k$ linear unabhängig sind und nicht-triviale Linearkombinationen von ihnen nicht in $U$ liegen dürfen. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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thureduehrsen
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  Beitrag No.9, eingetragen 2023-01-26 12:07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) \quoteon(2023-01-24 20:35 - Sir_Zotto in Beitrag No. 6) PS: Zusätzlich habe ich in der Zwischenzeit einen Beweis ausgearbeitet, dass f_u eine Volumenfunktion ist. Ich hoffe man kann das Foto sehen bzw der Beweis stimmt. Mfg \quoteoff Ich komme mit den Indizes \(\alpha\) und \(\beta\) nicht klar, Warum sind die aus \(K\)? Es ist \(K\) ein beliebiger Körper... mfg thureduehrsen\(\endgroup\)


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