| |
| Autor |
 Äquivalenzen zur fast sicheren Konvergenz |
|
WagW
Aktiv 
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 419
 |  Themenstart: 2023-01-24 22:40
|
Hallo,
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/49610_Unbenannt566565.JPG
Ich denke, dass Aussage b.) nicht aus $a.)$ folgt bzw. nicht äquivalent ist. Wenn $\Omega$ der zu Grunde liegende Grundraum ist und wir nun das Komplement von a.) betrachten, dann sollte es doch heißen, dass es für jedes $\omega\in\Omega$ ein ggf. "eigenes" $\epsilon >0$ gibt, also
$$
\mathbb{P}\left(\omega\in\Omega\mid \exists \epsilon>0\text{ mit } \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k\geq n}^{\infty}\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq\epsilon\right)=0.
$$
Oder?
viele Grüße
WagW
|
 Profil
|
zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4282
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-24 23:50
|
\quoteon(2023-01-24 22:40 - WagW im Themenstart)
$$
\mathbb{P}\left(\omega\in\Omega\mid \exists \epsilon>0\text{ mit } \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k\geq n}^{\infty}\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq\epsilon\right)=0.
$$
\quoteoff
Was du hier hingeschrieben hast ist im Wesentlichen $(c)$. Aber warum soll aus $(a)\iff(c)$ folgen, dass $(a)\iff(b)$ nicht gilt? Versuche doch mal, $(b)\iff(c)$ zu zeigen.
--zippy
|
Profil
|
WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 419
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-25 02:25
|
Hallo zippy,
ich glaube ich habe mich da zu sehr von der punktweisen Konvergenz aus Analysis verleiten lassen, wo man für nicht-Konvergenz nur irgendein $\epsilon>0$ finden muss.
Also dann betrachte ich mal $b\iff c$.
$b.) \implies c.)$:
Wenn ich $\epsilon:=\frac{1}{m}$ setze dann sieht man $ P\left(\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \frac{1}{m}\right\}\right)\leq \sum\limits_{m=1}^{\infty}P\left(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \frac{1}{m}\right\}\right)=0$
aufgrund der $\sigma$-Subadditivität.
$c.)\implies b.)$:
Für ein beliebiges $\epsilon>0$, finde ich immer ein $m$ mit $\epsilon>\frac{1}{m}$, also gilt $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \epsilon\right\}\subseteq \bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \frac{1}{m}\right\}$. Daher folgt für alle $\epsilon>0$
$
P\left(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \epsilon\right\}\right)\leq P\left(\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \frac{1}{m}\right\}\right)=0.
$
Der Vollständigkeit halber noch einmal $a.) \implies b.)$:
Für eine beliebiges $\epsilon>0$ gilt unter Verwendung der De Morganschen Regeln und der WSK Regeln bzgl. Komplementen:
$P\left(\omega\in\Omega\mid \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|< \epsilon\right\}\right)=1\implies P\left(\omega\in\Omega\mid \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \epsilon\right\}\right)=0 .$ Da das $\epsilon>0$ beliebig gewählt wurde gilt damit $P\left(\omega\in\Omega\mid \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\left\{\left|X_k(\omega)-X(\omega)\right|\geq \epsilon\right\}\right)=0$ für alle $\epsilon>0$.
Stimmt das so?
|
Profil
|
| WagW hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
