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 Dgl. 1. Ordnung Mit Trennen von Variablen |
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Sinnfrei
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Mitteilungen: 538
 |  Themenstart: 2023-02-01
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Hallo community,
ich würde gerne die folgende Schaltung mit Hilfe von Trennen der Variablen lösen, also mit integrieren. Nur stehe ich gerade an folgender Stelle, wo ich nicht weiter weiss. Da müsste ja irgendwie die e-Funktion ins Spiel kommen. Dafür müssten die Integrale logarithmus Terme ergeben.
Die Intention des ganzen ist es, am besten ohne homogener und partikulärer Lösung an das Ergebnis zu kommen, sodass ich mir das für die Prüfung nicht auf das Formelblatt, das wir benutzen dürfen aufschreiben muss, da ich sonst mit den ganzen Regeln für die Polynome keinen Platz mehr habe.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-02-01_215755.png
Viele Grüße
Sinnfrei
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Caban
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-02
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Hallo
Die Richtig der Herleitung der Gleichung im vorletzten Schritt habe ich nicht geprüft. Aber dieses Ausklammern im letzten Schritt geht nicht, weil die Ableitung ein Objekt ist. Stelle die Gleichung zunächst nach der Ableitung um, erst dann darfst du die Variablen trennen, weil die Gleichung dann exakt ist.
Gruß Caban
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Sinnfrei
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-02
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-02-02_200817.png
Es macht jetzt irgendwie etwas Sinn.
In der letzten Zeile weiss ich nicht, was ich mit dem rechten e Faktor machen soll, wo im Nenner des Exponenten auch noch ein $U_a(t)$ vorkommt.
Ab da, müsste $U_a(t)$ ja alleine auf einer Seite stehen. Hmmm.
Viele Grüße
Sinnfrei
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Caban
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-02
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Hallo
In Schritt 3 müsste das doch eine Quotient sein, keine Differenz.
Gruß Caban
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Sinnfrei
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-02
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\quoteon(2023-02-02 20:26 - Caban in Beitrag No. 3)
Hallo
In Schritt 3 müsste das doch eine Quotient sein, keine Differenz.
Gruß Caban
\quoteoff
Laut der Maschenregel ist doch die Differenz aus Eingangs- und Ausgangsspannung die Spannung über der Induktivität. Wenn ich da einen Quotienten reinbekommen möchte, hätte ich ja folgendes auf der rechten Seite.
$$L \int {1\over U_a(t)} {d^2 i(t)\over dt}$$
Viele Grüße
Sinnfrei
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Caban
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-02
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Hallo
Ich sehe grad, da muss jemand anders übernehmen. Ich hatte eine Formel falsch verstanden.
Gruß Caban
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rlk
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-02-03
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Hallo Sinnfrei,
was ist über die Eingangsspannung $u_e(t)$ bekannt? Die Beziehung
$$\color{red}{i_L(t) = \frac{u_a(t)}{j\omega L}}$$
die Du im Themenstart verwendest, gilt nur für komplexe Exponentialfunktionen, und statt der Momentanwerte $i_L(t)$ und $u_a(t)$ müssten dort die komplexen Zeiger $\underline{I}_L$ und $\underline{U}_a$ stehen.
Bei der Trennung der Variablen darf man nicht durch Null teilen, wass man für beliebige Eingangssignale nicht ausschließen kann.
Welche Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen habt ihr in der Vorlesung besprochen?
Servus,
Roland
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Sinnfrei
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Mitteilungen: 538
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-03
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\quoteon(2023-02-03 00:05 - rlk in Beitrag No. 6)
Hallo Sinnfrei,
was ist über die Eingangsspannung $u_e(t)$ bekannt? Die Beziehung
$$\color{red}{i_L(t) = \frac{u_a(t)}{j\omega L}}$$
die Du im Themenstart verwendest, gilt nur für komplexe Exponentialfunktionen, und statt der Momentanwerte $i_L(t)$ und $u_a(t)$ müssten dort die komplexen Zeiger $\underline{I}_L$ und $\underline{U}_a$ stehen.
Bei der Trennung der Variablen darf man nicht durch Null teilen, wass man für beliebige Eingangssignale nicht ausschließen kann.
Welche Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen habt ihr in der Vorlesung besprochen?
Servus,
Roland
\quoteoff
Wir haben das Lösen von DGL mit Hilfe von konstanten Koeffizienten sowie die Laplace-Transformation verwendet. Nur finde ich einige DGL Aufgaben mittels Laplace schwierig, da man bei einigen dann in eine Laplace Tabelle schauen muss und dafür möchte ich den Platz auf meiner Formelsammlung gerne Nutzen, um andere Formeln aufschreiben zu können, die ich für wichtiger erachte. Daher dachte ich an das Lösen mittels Trennen von Variablen, da uns in dem Fach zur Elektronischen Schaltungstechnik das Buch von Harald Hartl empfohlen wird, wo im Grundlagen Kapitel beim Lösen von DGL's auch das Trennen von Variablen erwähnt wird.
Beim Lösen mittels konstanten Koeffizienten müsste ich das zumindest einige Male durch exerziert haben, um mir die Lösungsansätze für die partikuläre Lösung nicht aufschreiben zu müssen. Tatsächlich hat mir immer der Teil große Schwierigkeiten bereitet, wo es um die Randbedingungen geht, da man diese richtig interpretieren muss, wie z.B. was das für die Ausgangsspannung bedeutet, wenn an der Induktivität der Strom nicht springt also $i(t = 0) = 0$ oder das die Spannung am Kondensator nicht springt, also $U_c(t = 0) = 0$.
Viele Grüße
Sinnfrei
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rlk
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-02-09
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Hallo Sinnfrei,
ich kenne "konstante Koeffizienten" nur als Eigenschaften der hier betrachteten Differentialgleichungen, bei Dir klingt es so als meintest Du ein Lösungsverfahren. Meinst Du vielleicht die Variation der Konstanten?
Um welche Eingangssignale $u_e(t)$ geht es hier? Davon wird die Wahl des am besten geeigneten Lösungsverfahrens abhängen.
Servus,
Roland
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Sinnfrei
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Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 538
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-09
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\quoteon(2023-02-09 01:14 - rlk in Beitrag No. 8)
Hallo Sinnfrei,
ich kenne "konstante Koeffizienten" nur als Eigenschaften der hier betrachteten Differentialgleichungen, bei Dir klingt es so als meintest Du ein Lösungsverfahren. Meinst Du vielleicht die Variation der Konstanten?
Um welche Eingangssignale $u_e(t)$ geht es hier? Davon wird die Wahl des am besten geeigneten Lösungsverfahrens abhängen.
Servus,
Roland
\quoteoff
Mit konstanten Koeffizienten meinte ich dann wohl das bestimmen homogener und partikulärer Lösungen der homogenen- und inhomogenen DGL. anhand einer Tabelle (bei partikulärer Lösung).
Mein Problem ist aber eher das richtige Einsetzen der Randbedingungen. Da verstehe ich einige Sachen nicht. Man kann die Spule ja auch vor dem Widerstand platzieren, sprich die Positionen von Widerstand und Spule aus dem Themenstart tauschen und dann ändert sich aus dem Grund was ich nicht verstehe, durch Einsetzen der Randbedingungen, das Ergebnis.
Die Eingangsspannung $U_e(t)$ ist bei uns fasst immer ein Gleichspannungswert $U_0$, der mit der Sprungfunktion $\sigma(t)$ multipliziert wird. In sehr wenigen Fällen ist die Eingangsspannung eine "echte" Wechselgröße.
Viele Grüße
Sinnfrei
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