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 Äquivalenzrelation und Maßraum |
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xitsokx
Aktiv 
Dabei seit: 11.11.2020
Mitteilungen: 40
 |  Themenstart: 2023-02-05
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\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc}
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\)
Hallo :)
Ich bräuchte dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:
Sei $(X,A,μ)$ ein Maßraum und seien $f,g \in L^1(μ)$.
Wir schreiben $f =_μ g$, wenn $μ({f = g}) = 0$ gilt.
a) Zeige, dass $=_μ$ eine Äquivalenzrelation auf $L^1(μ)$ definiert.
Die Faktormenge der Äquivalenzklassen wird mit $L^1(μ) := L^1(μ)/_{=_μ}$ bezeichnet.
b) Definiere Addition und reelle Vielfachbildung, Betragsbildung und Integration auf $L^1(μ)$ so,
dass die Werte durch die entsprechenden Operationen auf den Repräsentanten entstehen.
c) Zeige, dass $|| F || := \int |F | μ$ für $F \in L^1(μ)$ die Normeigenschaften auf $L^1(μ)$ erfüllt.
Ich habe hier absolut keine Ahnung und würde mich über eine Lösung freuen. Vielen Dank :)
\(\endgroup\)
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Qing
Aktiv 
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 295
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-05
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Hallo,
hierbei handelt es sich eigentlich um Beweise, die in diese Kategorie fallen:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805
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PhysikRabe
Senior 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2756
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-05
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\quoteon(2023-02-05 22:20 - xitsokx im Themenstart)
Sei $(X,A,μ)$ ein Maßraum und seien $f,g \in L^1(μ)$.
Wir schreiben $f =_μ g$, wenn $μ({f = g}) = 0$ gilt.
\quoteoff
Das verstehe ich nicht. Sieht die Definition wirklich so aus? Oder sollte es nicht eher $μ(\{f \neq g\}) = 0$ lauten?
\quoteon(2023-02-05 22:20 - xitsokx im Themenstart)
Die Faktormenge der Äquivalenzklassen wird mit $L^1(μ) := L^1(μ)/_{=_μ}$ bezeichnet.
\quoteoff
Hier schreibst du auf beiden Seiten der Definition $L^1(\mu)$. Das kann nicht gutgehen.
Davon abgesehen ist das Vorgehen doch offensichtlich:
a) Definition einer Äquivalenzrelation abarbeiten.
b) Anleitung steht im Aufgabentext.
c) Definition einer Norm abarbeiten.
Komplettlösungen werden (im Allgemeinen) auf dem Matheplaneten nicht geliefert. Eigeninitiative ist gefordert. Selbiges gilt auch für deine zahlreichen anderen Threads, die du gerade postest. "Keine/n Ahnung/Ansatz, freue mich über Lösung" ist zu wenig.
Grüße,
PhysikRabe
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| xitsokx hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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