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  Restglied einer Taylorreihe durch Landausymbole ausdrücken |
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sulky
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 |  Themenstart: 2023-02-07
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Hallo Zusammen,
Die Landausymbole sind uns in der mathematischen Ausbildung schon sehr oft begegnet, ohne dass diese jemals korrekt eingeführt wurden.
Oft haben wir eine Tylorreihe betrachtet der Form:
$a(x)=a(0)+a'(0)x+\frac{1}{2}a''(0)x^2+o(x^2)$
Ich verstehe nicht, weshalb der vernachlässigte Rest dieser Taylordarstllung $o(x^2)$ ist.
Sei z.B. $a$ ein Polynom dritten grades, dann wäre ja $qx^3=o(x^2)$ und folglich $\lim\limits_{x\to \infty}\frac{qx^3}{x^2}=0$, was natürlich Unsinn ist.
Wie kommt man auf dieses $o(x^2)$?
In der numerischen Analysis habe ich es jetzt noch mit diskreten Werten zu tun:
$u^n=u^{n+1}-\Delta t \cdot u'(t_{n+1})+\frac{(\Delta t)^2}{2}u''(t_{n+1})+O((\Delta t)^3)$
Ich kann nicht erkennen, weshalb $O(x^3)=?=o(x^2)$. Eher umgekehrt.
Sei z.B. $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$, sodass $\frac{a_n}{n^3}\to 1$, dann ist $(a_n)=O(n^3)$. Dann ist aber $\frac{a_n}{n^2}=n\frac{a_n}{n^3}\to n\cdot 1 =\infty$ und sicher nicht $a_n=o(n^2)$.
Wer kann hier Klarheit schaffen, oder eine gute Erklärung, der Rechenregeln von Landausymbolen nennen?
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-07
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
zu dem Landau-Symbol gehört eigentlich noch der Zusatz "für $x\to x_0$". Also bei der Taylor-Entwicklung zum Beispiel
$$
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)
$$
für $x\to x_0$.
Allgemein: Ist $D\subseteq \mathbb R$ nichtleer, $x_0\in\mathbb R$ ein Häufungspunkt von $D$ und $f,g\,\colon D\to \mathbb R$, dann sagt man $f\in o(g)$ für $x\to x_0$, wenn
$$
\lim_{x\to x_0}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=0
$$
gilt. Oftmals schreibt man dann auch $f=o(g)$, was aber nur symbolisch zu verstehen ist. Weiterhin sagt man $f\in O(g)$ für $x\to x_0$, falls
$$
\limsup_{x\to x_0}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<\infty.
$$
Auch hier schreibt man häufig symbolisch $f=O(g)$.
LG Nico\(\endgroup\)
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sulky
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-08
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Hallo Nico,
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Bei der Tylorentwicklung habe ich $0$ als Entwicklungspunkt angenommen. Dies hätte ich schreiben sollen.
So wie Du es beschreibst, verstehe ich es nun zumindest formell.
Sei z.B. $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, so wäre die Tylorentwicklung $f(x)=d+cx+bx^2+o(x^2)$ und folglich $ax^3\in o(x^2)$.
Dann wäre $\lim\limits_{x \to 0}|\frac{ax^3}{x^2}|=0$ und $\limsup\limits_{x \to 0}|\frac{ax^3}{x^3}|=|a|<\infty$. Stimmt also beides.
Ich bin also tatsächlich immer davon ausgegangen, dass $o$, bzw.$O$ dass asymptotische Verhalten einer Funktion oder einer Folge beschreibt, stattdessen beschreibt es das Verhalten um den Nullpunkt.
Habe ich ein falschen Verständniss für den Begriff "asymptotisch" oder woher der Knopf?
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-08
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
\quoteon(2023-02-08 00:06 - sulky in Beitrag No. 2)
Ich bin also tatsächlich immer davon ausgegangen, dass $o$, bzw.$O$ dass asymptotische Verhalten einer Funktion oder einer Folge beschreibt, stattdessen beschreibt es das Verhalten um den Nullpunkt.
\quoteoff
Nein. Ich weiß nicht, warum du meinen Hinweis aus meinem letzten Beitrag nicht beachtest. Zu einem Landau-Symbol gehört eigentlich immer noch der Zusatz "für $x\to x_0$". Es kann genauso $f(x)=o(g(x))$ für $x\to 5$ gelten. Natürlich kann man auch $x_0=\pm\infty$ betrachten. Dieser Zusatz ergibt sich nicht alleine aus dem Landau-Symbol. Bei der Taylorentwicklung meint man aber in der Regel immer "für $x\to x_0$", wobei $x_0$ der Entwicklungspunkt ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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sulky
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-08
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Hallo Nico,
Jetzt ist Licht ins Dunkle gekommen. Ich habe deinen Hinweis falsch verstanden. Das $x_0$ bedeutet in deiner Erklärung nicht nicht das Entwicklungszentrum der Tylorreihe, sondern eine Zusatzangabe für das Landausymbol (dann wäre $x_0$ wohl trotzdem wieder das Entwicklungszentrum).
Ich habe das Restpolynom der Tylorreihe nie verstanden, weil ich immer davon ausgegangen bin, dass immer $x\to \infty$ gemeint sei.
Bei Wikipedia lese ich:
Landau-Symbole (auch O-Notation, englisch big O notation) werden in der Mathematik und in der Informatik verwendet, um das asymptotische Verhalten von Funktionen und Folgen zu beschreiben.
Habe ich ein falsches Verständnis für das Wort "asymptotisch" oder ist Wikipedia falsch?
Jedenfalls ist es mit jetzt völlig klar und du hast mir sehr geholfen.
Noch eine Frage zur Tylorreihe:
Gegeben sei:
$\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t}-a\frac{\partial^2u}{\partial x^2} =0& (x,t)\in ]0;1[\times]0,T[ \\
u(0,x) & x\in ]0;1[
\end{cases}$
Wie weit darf ich jetzt hier die Tylorreihe entwickeln? aufgrund der Gleichung gehe ich davon aus, dass $u$ einmal nach $t$ und zweimal nach $x$ differenzierbar ist.
Darf ich jetzt hier schreiben:
$u(x,t)=u(0,t)+\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}x+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u(0,t)}{\partial x^2}x^2+o(x^2)$
Dies ist ja ein anderer Fall. Ich breche ich die Tylorentwicklung nicht deswegen nach dem Glied der 2. Potenz ab, weil die Genauigkeit genügt, sondern, weil ich nicht weiss, ob die dritte Ableitung überheupt existiert.
Ist in diesem Fall korrekt noch $+o(x^2)$ anzuhängen?
In einer Musterlösung lese ich dann noch:
$u(x_j,t)=u(x_j,t)+\frac{\partial u(x_j,t)}{\partial t}t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u(x_j,t)}{\partial t^2}t^2+o(t^2)$
Darf man diese Tylorreihe so schreiben? Dabei verwendet man $\frac{\partial^2 u(x_j,t)}{\partial t^2}$. Ich sehe keinen Hinweis, dass diese zweite Partialableitung nach $t$ überhaupt existiert.
Gruss
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nzimme10
Senior
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Wohnort: Köln
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-08
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Hallo,
bitte erstelle für neue Fragen einen neuen Thread - das habe ich dir bereits mehrfach geraten.
Deine Zusatzfrage scheint mir zu diesem Thread von dir zu gehören: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=261545
LG Nico
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sulky
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Dabei seit: 21.12.2009
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-08
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Ja, das stimmt.
Jedenfalls habe ich dank deiner Hilfe nun endlich etwas berstanden, woran ich zuvor lange gerätselt habe.
Vielen Dank Nico.
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sulky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sulky hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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