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| Autor |
  Grenzwert mit l'Hospital |
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mhipp
Aktiv 
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 470
 |  Themenstart: 2023-02-15
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Hallo zusammen!
Zu zeigen ist: \(\lim \limits_{x \to \infty}x \cdot (a^{1/x}-1)=ln(a)\).
Meine Vorgehensweise:
\(\lim \limits_{x \to \infty}x \cdot (a^{1/x}-1)\\
=\lim \limits_{x \to \infty}\frac{(a^{1/x}-1)}{1/x}\\
(LH)=\lim \limits_{x \to \infty}\frac{(1/x) \cdot a^{(1-x)/x}}{-1/x^2}\\
=\lim \limits_{x \to \infty}-x \cdot a^{(1-x)/x}\)
-x geht gegen minus Unendlich, \(a^{(1-x)/x}\) geht gegen \(a^{-1}\).
Da a konstant ist, geht das Ganze also (nach dieser Logik) gegen minus unendlich.
L'Hospital darf ich ja auch anwenden, da ich mithilfe des ersten Gleichzeichens eine "0/0"-Situation erzeugt habe, oder?
Wo steckt mein Denkfehler?
Viele Grüße und Danke!
Max
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 Profil
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MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3339
Wohnort: Werne
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-15
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Hallo mhipp,
die Ableitung des Zählers ist falsch. Es ist
$$a^{\frac 1x}=\left(e^{\ln a}\right)^{\frac 1x}=e^{\frac 1x\ln a}$$
Ciao,
Thomas
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo mhipp,
wenn ich nichts übersehen habe, ist dir einfach beim Ableiten des Zählers bei der Anwendung der Kettenregel ein Fehler unterlaufen: du multiplizierst mit dem Exponenten, anstatt mit seiner Ableitung (der Exponent ist hier ja innere Funktion!).
Und der Faktor \(\ln a\), der aus der Umwandlung in eine e-Funktion resultieren muss, fehlt ebenso (siehe dazu den vorigen Beitrag).
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]\(\endgroup\)
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PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2840
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-15
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\quoteon(2023-02-15 10:17 - Diophant in Beitrag No. 2)
Hallo mhipp,
wenn ich nichts übersehen habe, ist dir einfach beim Ableiten des Zählers bei der Anwendung der Kettenregel ein Fehler unterlaufen: du multiplizierst mit dem Exponenten, anstatt mit seiner Ableitung (der Exponent ist hier ja innere Funktion!).
\quoteoff
Der Irrtum scheint hier zu sein, dass die Potenzregel angewendet wurde, um $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} a^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} a^{\frac{1}{x} - 1} \equiv \frac{1}{x} a^{\frac{1-x}{x}}$ zu schließen. Das ist aber natürlich nicht korrekt, denn $x\mapsto a^x = e^{x\cdot\ln a}$ ist keine Potenzfunktion, sondern eine Exponentialfunktion.
Grüße,
PhysikRabe
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mhipp
Aktiv
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 470
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-15
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Oh nein, wie peinlich! Ich habe die Potenzregel angewandt, als wäre im Exponenten eine Konstante...
So passt dann natürlich alles (\(-\frac{1}{x^2}\) kürzt sich raus, übrig bleibt der Grenzwert von \(ln(a) \cdot a^{1/x}\), dieser beträgt offensichtlich \(ln(a)\)), danke!
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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