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  Konvergenz einer Folge gegen e |
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mhipp
Aktiv 
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 470
 |  Themenstart: 2023-02-15
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Hallo zusammen,
direkt nochmal eine Konvergenzfrage:
zu zeigen ist \(\lim \limits_{n \to \infty}(1+a_n)^{\frac{1}{a_n}}=e\) für eine beliebige Nullfolge \((a_n)\) mit \(0 \neq a_n \in (-1,\infty)\) für alle \(n\).
Intuitiv macht das Sinn, für \(a_n=\frac{1}{n}\) erhält man ja die altbekannte e-Folge \(\lim \limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e\).
Ich weiß aber gerade nicht, wie ich das ganz allgemein nachweisen soll.
Habt ihr mir vielleicht einen Tipp?
Danke und liebe Grüße!
Max :-)
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10673
Wohnort: Rosenfeld, BW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo mhipp,
setze doch einmal \(b_n:=\frac{1}{a_n}\) (mit \(a_n\): Nullfolge).
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]\(\endgroup\)
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mhipp
Aktiv
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 470
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-15
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ja, das habe ich auch schon versucht, dann habe ich \(\lim \limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{b_n})^{b_n}\).
Das ist eine Form wie \(\lim \limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e\).
Wenn \(b_n\) gegen unendlich gehen würde, würde das auch Sinn machen.
Aber wer sagt mir denn, dass \(b_n\) nicht unbestimmt divergiert?
Zum Beispiel für \(a_n=\frac{sin(n)}{n}\) ist \(b_n=\frac{n}{sin(n)}\) unbestimmt divergent, damit kann ich doch nicht gescheit weiterarbeiten, oder? (insbesondere erfüllt dieses \(a_n\) alle Bedingungen!)
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3640
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-15
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Wir können auch schreiben
\[
(1+a_n)^{1/a_n}=e^{\frac{\ln(1+a_n)}{a_n}}
\]
und $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+a_n)}{a_n}$ auswerten. Es gilt mit der Regel von l'Hospital
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x}=1.
\]
Nutze nun die Stetigkeit der Exponentialfunktion.
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mhipp
Aktiv
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 470
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-15
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das ist ja ein schöner Beweis, vielen Dank an euch!
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mhipp hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
mhipp hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | mhipp wird per Mail über neue Antworten informiert. |
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