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| Autor |
 Exponentialfunktion |
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Biene30
Aktiv 
Dabei seit: 14.02.2023
Mitteilungen: 201
 |  Themenstart: 2023-02-16
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Hallo
Warum ist denn
\(lim_{n \rightarrow \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^{n+1}=\frac{1}{e}\)?
Ich weiß dass gilt
\(lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n}=e\)
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2023-02-16 14:04 - Biene30 im Themenstart)
Warum ist denn
\(lim_{n \rightarrow \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^{n+1}=\frac{1}{e}\)?
Ich weiß dass gilt
\(lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n}=e\)
\quoteoff
Gegenfrage: wie genau lautet die Aufgabenstellung bzw. was darf man als bekannt voraussetzen?
Es ist nämlich \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x\), und wenn das bekannt ist, dann ist der Rest selbsterklärend.
Es geht aber auch ohne die Kenntnis des obigen Grenzwerts: da musst du eben einmal versuchen, durch geschickte Umformungen soweit zu kommen, dass du den bekannten Grenzwert anwenden kannst...
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]\(\endgroup\)
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PhysikRabe
Senior 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2840
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-16
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\quoteon(2023-02-16 14:04 - Biene30 im Themenstart)
Warum ist denn
\(lim_{n \rightarrow \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^{n+1}=\frac{1}{e}\)?
\quoteoff
Führe das auf die Darstellung von $e$ zurück, indem du $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$ in ein Produkt zweier Faktoren umformst, von denen einer $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n}$ ist.
Übrigens ist die Aussage äquivalent dazu, dass $\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{e}$ gilt.
Grüße,
PhysikRabe
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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