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 Ganzzahlige Lösungen für y³=a(3x²+3ax+a²) |
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skorp58
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 |  Themenstart: 2023-03-17 20:01
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Es sollen ganzzahlige Lösungen für \( y^{3}=a \cdot (3x^{2}+3ax+a^{2}) \) gefunden werden.
Alle Werte von x, y, a sollen dabei ganzzahlig sein.
Die Gleichung \( y^{3}=a \cdot (3x^{2}+3ax+a^{2}) \) hat folgende ganzzahlige "trivialen" Lösungen:
\( x=0, \phantom 3 y=a \) und \( x=-a , \phantom 3 y= a \)
Die Frage ist nun, ob es noch weitere ganzzahlige Lösungen gibt.
Meine Vermutung: Nein.
Ich versuche zunächst meinen Lösungsansatz durch Verändern des Parameters "a"
mit Beispielen unter Verwendung der Primfaktorzerlegung zu veranschaulichen.
1.Beispiel: 125
\( y^{3}= 125 =5 \cdot 5\cdot 5 = 5 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 5\cdot x + 5^{2}) \)
ergibt als einzige Lösungen \( x=0, \phantom 3 y=5 \) und \( x=-5 , \phantom 3 y=5 \)
2.Beispiel: 512
\( y^{3}= 512 = 2^{9} = 2^{3}\cdot 2^{3}\cdot 2^{3} \)
Hier ergeben sich mehrere Lösungsmöglichkeiten:
\( a=2: \phantom 3 512=2 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 2\cdot x + 2^{2}) \) hat die Lösung \( x_{1}= \sqrt{85} -1, \phantom 3 x_{2}= -\sqrt{85} -1 \)
\( a=4: \phantom 3 512=4 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 4\cdot x + 4^{2}) \) hat die Lösung \( x_{1}= 2\sqrt{\frac{31}{3}} -2, \phantom 3 x_{2}=-2\sqrt{\frac{31}{3}} -2 \)
\( a=8: \phantom 3 512=8 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 8\cdot x + 8^{2}) \) hat die Lösung \( x_{1}=0, \phantom 3 x_{2}= -8 \)
Es folgen dann komplexe Lösungen:
\( a=16: \phantom 3 512=16 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 16\cdot x + 16^{2}) \) ergibt \( x_{1}=-8+4i\sqrt{\frac{2}{3}} -10, \phantom 3 x_{2}=-8-4i\sqrt{\frac{2}{3}} \)
usw.
3.Beispiel: 27.000
\( y^{3}= 27000 = 8 \cdot 27\cdot 125 = 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3} \)
Die Gleichung \( y^{3}= 27000 = a \cdot (3x^{2}+3ax+a^{2}) \) lässt sich nun mit allen möglichen Produkten von 2, 3, 5 für den Wert der Variablen a durchrechnen und man erhält immer nur Wurzelausdrücke oder Komplexe Zahlen.
(Vielen Dank an Wolfram Alpha !! )
( Ausgenommen sind natürlich die "trivialen" Lösungen mit \( x=0, \phantom 3 x=-30 \) )
Nun die eigentliche Frage:
Wie könnte man diese Prozedur mit dem "Ausprobieren am Beispiel" systematisch durchführen, so dass man letztlich erkennen kann, dass es nur die "trivialen" ganzzahligen Lösungen gibt und Wurzelausdrücke und komplexe Zahlen - oder eventuell auch weitere ganzzahlige Lösungen?
Letztlich gehts hier immer um das Lösen einer quadratischen Gleichung, nur fehlt mir irgendwie die Idee, wie man ein Muster erkennen kann und die Aufgabe systematisch lösen könnte.
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Wauzi
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Dabei seit: 03.06.2004
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-17 21:53
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Hallo,
addiere x3 auf beiden Seiten.
Gruß Wauzi
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46763
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-18 11:31
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Hi skorp58,
es gibt noch weitere Lösungen, nämlich y=a=0 und beliebiges x.
Gruß Buri
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skorp58
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-18 13:50
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\quoteon(2023-03-18 11:31 - Buri in Beitrag No. 2)
Hi skorp58,
es gibt noch weitere Lösungen, nämlich y=a=0 und beliebiges x.
Gruß Buri
\quoteoff
Die Möglichkeit y=a hatte ich schon oben angegeben.
Die Lösung y=a=0 ist natürlich möglich, aber für meine Aufgabenstellung nicht zielführend.
Trotzdem Danke für den Hinweis.
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cramilu
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-18 14:04
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skorp58, beherzige doch schlicht Wauzis Rat:
\(y^{3}\;=\;a\,\cdot\,(3x^{2}\,+\,3ax\,+\,a^{2})\) \(\vert\;+\,x^3\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^3\,+\,y^{3}\;=\;x^3\,+\,3ax^2\,+\,3a^2x\,+\,a^3\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^3\,+\,y^3\;=\;(x+a)^3\)
Und schon sind wir bei Fermat .
Verweise zu Beweisen finden sich dort auch.
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skorp58
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-18 15:29
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\quoteon(2023-03-18 14:04 - cramilu in Beitrag No. 4)
skorp58, beherzige doch schlicht Wauzis Rat:
\quoteoff
Ja, natürlich weiss ich das auch.
Aber das ist trotzdem keine Lösung des Problems.
Ist die Fragestellung wirklich so absurd?
Ich finde es schade, dass bei Fermat sofort abgewunken wird, als ob man sich nicht auch noch weitere Gedanken machen dürfte ...
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StrgAltEntf
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Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-03-18 15:49
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\quoteon(2023-03-18 15:29 - skorp58 in Beitrag No. 5)
Ja, natürlich weiss ich das auch.
Aber das ist trotzdem keine Lösung des Problems.
Ist die Fragestellung wirklich so absurd?
Ich finde es schade, dass bei Fermat sofort abgewunken wird, als ob man sich nicht auch noch weitere Gedanken machen dürfte ...
\quoteoff
Das Wort heißt abgewinkt und nicht abgewunken.
Wenn du das "natürlich" auch weißt, verstehe ich nicht, was das hier soll? Dein Problem wurde auf ein anderes Problem mit bekannter Lösung zurückgeführt. Erwartest du, dass die Fermatgleichung plötzlich doch weitere Lösungen hat?
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skorp58
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-18 16:42
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Abgewinkt. Finde ich auch toll !!
Hört sich so nach Fussball an.
Nein, ich erwarte keine neuen Erkenntnisse bzgl. Fermat.
Ich wollte nur wissen, wie ich bei meiner konkreten Fragestellung vorgehen müsste.
Aber wenn das Problem schon allgemein geklärt ist, dann brauche ich mich ja nicht mehr weiter bemühen.
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-18 16:59
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Wenn es zu einem Problem (wie zB Deinem) eine allgemeine Lösung gibt (hier Fermat) braucht nan doch keine spezielle suchen. Man leitet doch auch die Lösungsformel für quadratische Gleichungen nicht für jede Gleichung nochmal aufs neue her.
Gruß Wauzi
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cramilu
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Dabei seit: 09.06.2019
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-03-18 21:49
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@skorp58
Bei Deiner konkreten Fragestellung, wo Du Dir ja nun
bekräftigt einen Ausschnitt von Fermat vorgenommen
hast, könntest Du beispielsweise genau mit der von
Wauzi angesprochenen quadratischen Lösungsformel
weiterstochern:
\(y^3\;=\;3ax^2\,+\,3a^2x\,+\,a^3\)
\(\Leftrightarrow\) \(3ax^2\,+\,3a^2x\,+\,a^3\,-\,y^3\;=\;0\) \(\vert\;\div\,6a\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{x^2}{2}\,+\,\frac{ax}{2}\,+\,\frac{a^2}{6}\,-\,\frac{y^3}{6a}\;=\;0\)
\(\Rightarrow\) \(x_{1;2}\;=\;-\frac{a}{2}\;\pm\;\sqrt{\,\frac{y^3}{3a}\;-\;\frac{a^2}{12}}\)
Und davon ausgehend 'nette' Lösungen suchen...
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skorp58
Aktiv
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-19 13:36
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Es gibt sehr oft bei mathematischen Problemen mehrere Möglichkeiten, bestimmte Dinge anzugehen. Einfach nur zu sagen "das ist schon bewiesen und somit Zeitverschwendung" finde ich langweilig.
In der Mathematik gibt es ganz viele Sätze, die mehrfach auf unterschiedliche Art bewiesen wurden. Das macht die Sache erst interessant.
Aber ich bin bescheiden und wollte hier einfach nur folgendes untersuchen:
\( x^{3}+y^{3}=(x+a)^{3} \)
ergibt nach dem Ausmultiplizieren: \( x^{3}+y^{3}=x^{3}+3ax^{2}+3a^{2}x+a{3} \)
Das \( x^{3} \) fällt auf beiden Seiten weg, bleibt also: \( y^3=a(3x^2+3ax+a^2) \)
Die Frage war nun für mich, ob man trotz des um \( x^{3} \) "reduzierten" Binoms von \( (x+a)^{3} \) auf der rechten Seite ganzzahlige Lösungen bekommen könnte. Deshalb der ganze Aufwand!
Wenn das nun in der "Fermat-Ecke" gelandet ist und zu einer Grundsatzdiskussion führt, dann tut mir das leid.
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
StrgAltEntf
Senior
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-03-21 22:21
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\quoteon(2023-03-18 16:42 - skorp58 in Beitrag No. 7)
Abgewinkt. Finde ich auch toll !!
Hört sich so nach Fussball an.
\quoteoff
Aus dem Duden, 21. Auflage von 1996:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35803_winken.jpg
Aber anscheinend ist das heute nicht mehr unbedingt gültig.
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9680
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.12, eingetragen 2023-03-21 22:33
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Wenn du \( z=x+a\) setzt, bist du wirklich direkt bei Fermat, und wieso sollte es da dann noch ganzzahlige Lösungen geben?
Genauso kann man sich fragen, ob \(\displaystyle \left(\frac{p+3}{q}\right)^2=2 \) ganzzahlige Lösungen hat.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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