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| Autor |
 Zeigen, dass ein Quotientenring ein Körper ist |
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elenmel
Aktiv 
Dabei seit: 08.06.2019
Mitteilungen: 29
 |  Themenstart: 2023-03-18 19:06
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Hallo,
wie zeige ich, dass \IQ[X]//(X^2 + 6X - 12) ein Körper?
Wir hatten in der Vorlesung, dass Quotientenring R//M genau dann ein Körper ist, wenn M ein maximales Ideal.
Also muss ich zeige, dass M=(X^2 + 6X − 12) maximal ist oder?
Und wie mach ich das?
Vielen Dank im Voraus
Gruß Meli
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Student10023
Aktiv 
Dabei seit: 22.11.2020
Mitteilungen: 194
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-18 19:31
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Hallo,
kennst Du irgendeine Charakterisierung von Maximalideale in $\mathbb{Q}[X]$ oder allgemeiner in Hauptidealringen? Das könnte Dir hier weiterhelfen.
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juergenX
Aktiv
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 805
| Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-18 23:31
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\quoteon(2023-03-18 19:31 - Student10023 in Beitrag No. 1)
Hallo,
kennst Du irgendeine Charakterisierung von Maximalideale in $\mathbb{Q}[X]$ oder allgemeiner in Hauptidealringen? Das könnte Dir hier weiterhelfen.
\quoteoff
$X^2+6x-12$ ist irreduzibel in $\IQ[X]$ das reicht zuzeigen, dass $(X^2+6x-12)$ ein maximales Ideal in $\IQ[X]$ ist meine ich...
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elenmel
Aktiv
Dabei seit: 08.06.2019
Mitteilungen: 29
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-19 09:57
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Ich glaub, ich darf gar nicht verwendet, dass das Polynom irreduzibel ist. Ich hab aber eine Idee. Ich nehm einfach an, dass es ein echtes Ideal gibt und führ das zu einem Widerspruch, also ich mach das mit der Definition.
Gruß Meli
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juergenX
Aktiv
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 805
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-20 13:29
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\quoteon(2023-03-19 09:57 - elenmel in Beitrag No. 3)
Ich glaub, ich darf gar nicht verwendet, dass das Polynom irreduzibel ist. Ich hab aber eine Idee. Ich nehm einfach an, dass es ein echtes Ideal gibt und führ das zu einem Widerspruch, also ich mach das mit der Definition.
Gruß Meli
\quoteoff
Ein Ideal I heißt echt, wenn es nicht ganz R ist.
Ein Ideal (I) heißt maximal wenn es kein "größeres" ideal (J) gibt, das alle Eiemente von (I) enthält. Alle Primideale in einem Hauptidearing sind maximal z.B. (3). Es gibt nur kleinere wie (6).
in Q[x] ist (x+1) eine maxixales aber (2x+2) nicht weil (x+1) alle Elemente von (2x+2) enthält. Was, so meine ich auch bedeutet das f(x)=2x+2=2*(x+1) reduzibel ist, g(x)=x+1 aber nicht.
Was wäre also über $Q[x]/(2x+2)$ zu sagen. Warum ist es kein Koerper?
Welche Koerperregel waere verletzt?
Wenn das nicht schon erledigt ist...
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3563
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-20 13:58
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Hallo, @juergen: Vorsicht, $f=2x+2$ ist irreduzibel. 2 ist eine Einheit in $\mathbb Q$. Die Ideale $(2x+2)=\{(2x+2)\cdot g\mid g\in\mathbb Q[x]\}$ und $(x+1)=\{(x+1)\cdot g\mid g\in\mathbb Q[x]\}$ sind dieselben.
Insbesondere ist auch $\mathbb Q[x]/(2x+2)$ ein Körper. In diesem ist $x=-1$. Was sollte denn deiner Meinung nach schief gehen?
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Student10023
Aktiv
Dabei seit: 22.11.2020
Mitteilungen: 194
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-03-20 16:37
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Hallo elenmel,
Es gibt zwei Aussagen, die man hier braucht, um das zu beweisen.
Es sei $K$ ein Körper dann gilt:
1) Wenn $f \in K[X]$ irreduzibel ist (d.h nicht zerlegbar in nicht echte faktoren) dann ist $(f)$ ein maximales Ideal.
2) Wenn $I$ ein maximales Ideal ist, so ist $K[X]/I$ ein Körper
ersteres gilt sogar in beliebigen Hauptidealringen (glaube ich) und zweitens gilt in jedem Ring und es gilt sogar die Umkehrung.
Die beweise für diese beiden Tatsachen sind einfach. Versuch es selbst und melde dich, falls du Probleme dabei hast bzw. mir ist nicht ganz klar, was du benutzen darfst und was nicht, das müsstest du vielleicht nochmal klarstellen.
Wenn du die beiden Aussagen hast, musst du nur noch zeigen, dass dein Polynom irreduzibel ist. Das müsste aber auch sehr leicht sein, da dies ein Polynom zweiten Grades ist.
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elenmel
Aktiv
Dabei seit: 08.06.2019
Mitteilungen: 29
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-20 17:05
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Hallo, vielen Dank für die Antworten, aber die Aussage: "Wenn f∈K[X] irreduzibel ist (d.h nicht zerlegbar in nicht echte faktoren) dann ist (f) ein maximales Ideal." hatten wir nicht
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4412
 | Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-20 17:29
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Du kannst auch einfach direkt zeigen, dass alle Elemente $\ne0$ in dem Ring $\mathbb Q[X]/(X^2+6X-12)$ invertierbar sind, weil das Polynom $X^2+6X-12$ keine Nullstelle in $\mathbb Q$ hat.
Ein Startpunkt hierfür ist die Gleichung$$
(X-a)(X+a+6) =
\bigl[X^2+6X-12\bigr]-\bigl[a^2+6a-12\bigr] \;,$$aus der du das Inverse von $X-a$ sofort ablesen kannst.
--zippy
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