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  Sind endlichdimensionale Hilberträume immer separabel? |
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JoMu02
Junior 
Dabei seit: 24.03.2023
Mitteilungen: 14
 |  Themenstart: 2023-03-24
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Beispielsweise könnte man ja aus den natürlichen Zahlen einen metrischen Raum basteln, wenn man sie mit der Standard-Abstandsmetrik versieht.
Dieser Raum wäre dann auch vollständig, weil ja offensichtlich jede Cauchyfolge konvergent ist.
Da die Metrik durch eine Norm, den "normalen Betrag" induziert ist, ist das also sogar ein Banachraum. Weiter kann man folgern, dass die Betragsnorm ja auch durch ein Skalarprodukt induziert ist, nämlich durch die "normale" Multiplikation.
Also ist dieser eindimensionale Raum ja sogar ein Hilbertraum.
Da ein Hilbertraum genau dann separabel ist, wenn er eine abzählbare ONB besitzt, ist also dieser konstruierte Raum separabel.
So könnte man doch bei jedem endlichdimensionalen Raum vorgehen, etwa auch bei den reellen Zahlen oder im R^n?
Mir fällt kein allgemeiner Beweis bzw. kein Gegenbeispiel ein...
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
nehmen wir einen endlich-dimensionalen normierten $\mathbb R$-Vektorraum $V$. Dieser besitzt eine endliche Basis $(x_1,\dots,x_n)$. Betrachte nun
$$
Q:=\left\lbrace \sum_{j=1}^n q_jx_j\mid q_j\in \mathbb Q\right\rbrace\subseteq V.
$$
Es sollte nun nicht sehr aufwändig sein, zu zeigen, dass $Q$ abzählbar ist und dicht in $V$ liegt. Für einen $\mathbb C$-Vektorraum betrachtet man dann Linearkombinationen mit Koeffizienten aus $\mathbb Q+\i\mathbb Q$.
LG Nico\(\endgroup\)
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JoMu02
Junior
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-24
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Hallo,
ich glaube, dass meine Frage missverstanden wurde: Mir geht es nicht um einen Beweis für R^n, sondern um einen Beweis, dass/ob das für jeden endlichdimensionalen Hilbertraum gilt...
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-24
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Jeder endlich-dimensionale Hilbertraum ist insbesondere ein endlich-dimensionaler normierter Vektorraum.
Mein Argument bezieht sich auf irgendeinen endlich-dimensionalen normierten Vektorraum $V$, nicht nur auf $\mathbb R^n$.
LG Nico\(\endgroup\)
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JoMu02
Junior
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-24
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Aber klappt das auch für jeden Vektorraum über den natürlichen Zahlen oder über endlichen Mengen?
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-24
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Für mich ist ein Hilbertraum insbesondere ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb R$ oder $\mathbb C$.
Wie definierst du ein Skalarprodukt über den natürlichen Zahlen? Wie definierst du ein Skalarprodukt über einem endlichen Körper? Kein endlicher Körper besitzt eine Anordnung.
LG Nico\(\endgroup\)
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JoMu02
Junior
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-24
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Über den natürlichen Zahlen kann man doch auch einfach (wie auch in den reellen Zahlen) als Skalarprodukt die normale Multiplikation verwenden?
Oder habe ich hier einen Denkfehler?
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-24
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Man kann über den natürlichen Zahlen keinen Vektorraum haben, weil man dazu per definitionem einen Körper braucht. Man kann nicht einmal einen Modul über $\mathbb N$ haben, weil man dazu wenigstens einen Ring braucht.
Daher ergibt etwas wie "Skalarprodukt" hier keinen Sinn und du müsstest das alles erstmal definieren.
LG Nico\(\endgroup\)
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PhysikRabe
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 | Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-24
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Wie schon erwähnt ist $\mathbb N$ kein Körper, sondern ein kommutativer Halbring (mit dem Nullelement $0$, auch wenn manche etwas Anderes behaupten; $\mathbb N$ ist also ein additives und multiplikatives Monoid).
Endliche Körper $\mathbb F_{p^n}$ sind keine angeordneten Schiefkörper. Diese Struktur bräuchte man aber, um überhaupt etwas wie eine positiv-definite nicht-entartete hermitesche Form definieren zu können. Das Skalarprodukt sollte ja auch eine Metrik induzieren... Wie würde man das machen? Auf die übliche Weise via $d(x,y)=\sqrt{\langle x-y,x-y\rangle}$ schon einmal nicht, denn es gibt keine Quadratwurzel auf diesen Körpern.
Grüße,
PhysikRabe
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JoMu02
Junior
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-24
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Vielen Dank, da sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr... Hätte mit eigentlich auffallen müssen, das hier ja der Körper fehlen würde.
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