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| Autor |
  Interpretation der Kovarianzformel und ihr Verteilungshintergrund |
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nikofld3
Aktiv 
Dabei seit: 26.02.2022
Mitteilungen: 215
 |  Themenstart: 2023-03-31
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Kovarianzfolie:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55422_nefo.png
Was mir hier unklar ist, für was ist dieses g(x,y)? Das ist doch das gleiche wie wenn man einen bestimmten Wert für X und Y hat und soll damit dieses E(X-\mu_x)(Y-\mu_y) ersetzen oder? Und fehlt hier:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55422_nefo2.png
Nicht noch eine Klammer sollte es nicht sein:
E((X-mu_x)(Y-mu_y)) ?
Und wann nutzt man dieses g(x,y), hier im Beispiel hat man diese VErschiebungsregel genutzt:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55422_nefo3.png
Wann nutzt man g(x,y)? WEil nach der Verschiebungsregel, kann man diese Regel:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55422_nefo4.png
immer nutzen? Ist dann g(x,y) nicht überflüssig?
Und welche Art von Zufallsvariablen haben wir hier? Das wurde nicht erwähnt, sind es stetige, diskrete? Weil später werden auch Grenzwärtsetze eingeführt, da stehen auch keine Bezeichnungen für die Zufallsvariabln?
Da haben wir z. B. Satz von Bernoulli stehen, was ja eig. für diskrete Zufalslvariablen wäre?
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-31
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
wozu die Funktion \(g(x,y)\) hier gut sein soll, wenn sie nicht verwendet wird erschließt sich mir auch nicht.
(Hast du alles an Folien zum Thema durchgesehen?)
Dass dem angesprochenen Erwartungswert ein Klammernpaar fehlt, ist richtig.
Die Forderung an die beiden Zufallsvariablen muss m.W. nach lauten: sie müssen reell und integrierbar sein. Letzteres bedeutet so viel wie: die ZVen müssen endliche Erwartungswerte besitzen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Profil
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AnnaKath
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3759
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-31
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}\)
Huhu nikofld3,
nur rasch ein paar Anmerkungen:
- die Definition der Kovarianz gilt natürlich für beliebige Zufallsvariablen, egal ob sie nun diskret oder "stetig" sind.
- Es ist völlig üblich $E(A-a)(B+17)(C-D^2)$ o.ä. zu schreiben, wenn man $E[(A-a)(B+17)(C-D^2)]$ meint.
- Ich vermute zwar, dass die Abbildung $g$ später in einem anderen Zusammenhang noch auftaucht; hier wäre sie tatsächlich nicht erforderlich um etwa Kovarianzen zu berechnen. Man könnte allerdings mit ihrer Hilfe die Existenz von Kovarianzen unter bestimmten Bedingungen mit Hilfe dieser (offenbar messbaren) Abbildung zeigen. Vom Stil der Folien halte ich das zwar für nahezu ausgeschlossen, aber weil es Spass macht...
Sind $(\Omega_1, \mathcal{A}_1)$ und $(\Omega_2, \mathcal{A}_2)$ messbare Räume, $f:\Omega_1 \to \Omega_2$ messbar und ist $\mu$ ein Mass auf $\mathcal{A}_1$ so definiert man das pushforward-Mass durch: $f_*(\mu)(B) = \mu(f^{-1}(B))$ für $B\in \mathcal{A}_2$. Ist nun $g$ eine messbare Abbildung auf $\mathcal{\Omega}_2$, so ist $g$ genau dann bzgl. $f_*(\mu)$ integrierbar, wenn $g\circ f$ integrierbar bzgl. $\mu$ ist.
Das angegebene $g$ ist gerade die benötigte Abbildung, die die Existenz der (Ko-)Varianz mit Hilfe dieses Satzes auf "handliche" Bedingungen für $X$ und $Y$ zurückführt (praktisch bedeutet das aber nur, dass $X$ und $Y$ quadratintegrabel sein müssen).
lg, AK
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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Profil
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luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 1004
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-04-01
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
%****************************************************************
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Ich vermute Folgendes: Auf einer frueheren Folie wurde das Szenario beschrieben, dass $g:\IR^2\to\IR$ eine Funktion ist und $X,Y$ sind Zufallsvariablen. Dann ist $g(X,Y)$ unter geeigneten Annahmen hinsichtlich $g$ (z.B. Stetigkeit oder schwaecher, s. Beitraege #1&2) eine Zufallsvariable. Fuer sie kann man dann Erwartungswert, Varianz usw. berechnen.
In deinem Beispiel wird $g:\IR^2\to\IR$, $(x,y)\mapsto(x-\mu_X)(y-\mu_Y)$ betrachtet ...
vg Luis \(\endgroup\)
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nikofld3
Aktiv
Dabei seit: 26.02.2022
Mitteilungen: 215
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-01
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Danke, mir haben alle 3 Posts sehr geholfen, weshalb ich nicht weiß, bei wem ich abhacken soll.
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nikofld3 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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