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| Autor |
 * Die Runden soll'n ins Eckige! |
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cramilu
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 |  Beitrag No.40, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-29 05:16
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Mein rechnerisches Fazit für \(n=2,4,6\) :
$$
f_{2^\phantom{b}}(q)\;=\;\frac{r_{2^\phantom{b}}(s;q)}{s}\;=\;\left\{\begin{array}{2}\,\frac{1}{2} & \text{wenn}\quad0\,<\,q\,\leq\,\frac{1}{2}\quad{;} \\ \,\frac{1}{2}\cdot\left(\,1\,+\,\frac{1}{q}\,-\,\sqrt{\,\frac{2}{q}^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{1}{2}\,<\,q\,\leq\,1\quad{.} \end{array}\right.
$$
$$
f_{4^\phantom{b}}(q)\;=\;\left\{\begin{array}{3}\,\frac{1}{2} & \text{wenn}\quad0\,<\,q\,\leq\,\frac{1}{4}\quad{;} \\ \,\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\,9\,+\,\frac{1}{q}\,-\,3\cdot\sqrt{\,8\,+\,\frac{2}{q}^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{1}{4}\,<\,q\,\leq\,\frac{2+\sqrt{3}}{5}\approx0{,}74641\quad{;} \\ \,\frac{1}{8}\,\cdot\,\left(\,1\,+\,\frac{2}{q}\,-\,\sqrt{\,\frac{4}{q}\,-\,3^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{2+\sqrt{3}}{5}\,<\,q\,\leq\,1\quad{.} \end{array}\right.
$$
Auch mit herzlichem Dank und Gruß an querin!
$$
f_{6^\phantom{b}}(q)\;=\;\left\{\begin{array}{5}\,\frac{1}{2} & \text{wenn}\quad0\,<\,q\,\leq\,\frac{1}{6}\quad{;} \\ \,\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\,25\,+\,\frac{1}{q}\,-\,5\cdot\sqrt{\,24\,+\,\frac{2}{q}^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{1}{6}\,<\,q\,\leq\,\frac{2+\sqrt{3}}{7}\approx0{,}53315\quad{;} \\ \,\frac{1}{18}\,\cdot\,\left(\,1\,+\,\frac{3}{q}\,-\,\sqrt{\,\frac{6}{q}\,-\,8^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{2+\sqrt{3}}{7}\,<\,q\,\leq\,\frac{2}{3}\quad{;} \\ \,\frac{1}{26}\,\cdot\,\left(\,8\,+\,\frac{1}{q}\,-\,2\cdot\sqrt{\,3\,+\,\frac{4}{q}\,-\,\frac{3}{q^2}^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{2}{3}\,<\,q\,\leq\,\frac{5}{2+2\sqrt{3}}\approx0{,}915\quad{;} \\ \,\frac{1}{46}\,\cdot\,\left(\,-\,4\,-\,\frac{9}{q}\,+\,6\cdot\sqrt{\,3\,+\,\frac{2}{q}\,+\,\frac{8}{q^2}^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{5}{2+2\sqrt{3}}\,<\,q\,\leq\,1\quad{.} \end{array}\right.
$$
Auf einem Papierbogen DIN A4, \(297\,\text{mm}\,\times210\,\text{mm}\),
lassen sich also vier gleiche Kreise mit einem Radius
von \(r_{4^\phantom{b}}=56{,}935\,964\,\text{mm}\) (auf Nanometer abgerundet)
unterbringen; oder sechs gleiche Kreise mit einem
Radius von \(r_{6^\phantom{b}}=49{,}709\,522\,\text{mm}\) . [bitte nachrechnen]
Was morphologische Phasen für ungerade \(n\geq3\) an-
belangt, bleibt das stets gleich gelagerte Problem von
gleichseitigen Mittelpunktsdreiecken, welche sich drehen.
Möglicherweise muss man das, wenn auch mit höher-
gradigen Polynomen, nur einmal fleißig lösen, um es
danach allgemeiner verwenden zu können? 🤔
Parallel bzw. stattdessen erscheint mir als nächstes
interessant, wieviele und welche Phasen für \(n=8\)
auftreten...
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Wario
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 | Beitrag No.41, eingetragen 2023-05-29 18:11
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\(\begingroup\)\(\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}
\usepackage{colortbl}
\)
\quoteon(2023-05-29 05:16 - cramilu in Beitrag No. 40)
Parallel bzw. stattdessen erscheint mir als nächstes
interessant, wieviele und welche Phasen für \(n=8\)
auftreten...
\quoteoff
Intuitiv hatte ich gedacht, dass es immer $n-1$ morphologische Phasen gibt.
Aber:
1) Dumme Frage: Wenn ich die Funktion $f$ kenne (sowie $s,l,r$). Weiß ich dann auch, wo die Kreismittelpunkte liegen?
2) Wieso formulierst Du eigentlich das Seitenverhältnis in der Form $q
=\dfrac{s}{l}
=\dfrac{\text{Kürzere Seite}}{\text{Längere Seite}}
$?
Hat das irgendeinen Grund oder Vorteil?
Wenn es in der Form $\dfrac{l}{s}$ formuliert wird, hat man auch nicht so viele Brüche im Ergebnis.
\(\endgroup\)
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cramilu
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| Beitrag No.42, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-29 23:09
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Zur Intuition:
Es könnten für gerade \(n\) auch stets \(2^{\left(\frac{n}{2}-1\right)}+1\)
morphologische Phasen sein. Oder etwas in der Art.
Zur »dummen« Frage:
Warum soll die »dumm« sein? Ich gehe aber \(-\) siehe
haribos Überlegungen zu »Freiheitsgraden« \(-\) davon
aus, dass es Konstellationen gibt, wo für mehrere Kreise
deren Mittelpunkte nicht einmal relativ fix sein müssen.
Zum Seitenverhältnis:
Reine Konvention! \(q\in(0;1]\) als Intervallparameter gefällt
mir halt besser als \(p=\frac{1}{q}\geq1\) . Zudem schienen mir Papier-
formate, die ja im Zusammenhang mit dem Themenursprung
stehen, zumeist so definiert, dass mit der Höhe \(h\) die längere
Seite bezeichnet wird. Mein geistiges Auge schätzt aber eher
ab, wie viele Kreise sich in der Breite \(b\) unterbringen lassen,
also im Verhältnis zur kürzeren Seite. Reine Konvention!
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Wario
Aktiv
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| Beitrag No.43, eingetragen 2023-05-30 00:46
|
\(\begingroup\)\(\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}
\usepackage{colortbl}
\)
\quoteon(2023-05-29 23:09 - cramilu in Beitrag No. 42)
.... siehe
haribos Überlegungen zu »Freiheitsgraden« \(-\) davon
aus, dass es Konstellationen gibt, wo für mehrere Kreise
deren Mittelpunkte nicht einmal relativ fix sein müssen.
\quoteoff
Man sollte daher allgemeine Regeln formulieren, so das die Platzierung der Kreise -im besten Fall- eindeutig wird.
Eine solche könnte sein, dass der erste Kreis immer in der linken untere Ecke zu platzieren ist - sofern das möglich ist.
Meistens scheint das hier
http://www.packomania.com/
der Fall zu sein.
Oder man denkt sich ein Koordinatensystem, in dem der Ursprung die linke untere Ecke ist. Dann könnte man ggf. immer die kleinesten x- und y-Koordinaten für die Kreismittelpunkte fordern.
\(\endgroup\)
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haribo
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| Beitrag No.44, eingetragen 2023-05-30 09:20
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8 hat den zwischenschritt dreizeilig 3-2-3 übereinander auf lücke, dann drücken sich die mittleren der 3er richtung mitte, das gibt eine mittelpunktsymetrische quadratfüllung
der weg von zweizeilig 4-4 zu obigen 3-2-3 ist der eindeutig? je einer der unteren mittleren hoch und aus oberer zeile der andere runter? oder gibt es da mehr möglichkeiten?
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