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 Divergente Reihe |
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Thales111
Junior 
Dabei seit: 10.03.2022
Mitteilungen: 13
 |  Themenstart: 2023-05-25 20:14
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Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zu der folgenden Reihe:
Summe von n=1 über unendlich von (n^2-n)/(n^3+n).
Man soll nun beweisen, ob diese Reihe konvergiert oder divergiert. Meines Erachtens divergiert sie, ich finde aber noch keinen vernünftigen Beweis.
Kann mir jemand bitte helfen mit ein paar Tipps?
Liebe Grüße und danke
Thales
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DrainingPond
Neu 
Dabei seit: 11.05.2023
Mitteilungen: 1
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-25 20:21
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Hallo,
der Standardtrick bei solchen Termen ist eigentlich immer, dass man die höchste n-Potenz kürzt.
Danach argumentierst du mit dem Minorantenkriterium.
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Thales111
Junior
Dabei seit: 10.03.2022
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-25 20:29
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Hallo,
vielen Dank. Ja, das hatte ich schon versucht und das Ganze gekürzt zu (n-1)/(n^2+1).
Da sind dann folgende Probleme aufgetreten:
Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass das Minorantenkriterium nur für Reihen mit positiven Folgengliedern gilt, und zudem ist mir keine divergente passende Reihe eingefallen. 1/n ist ja leider größer, sonst wäre es trivial.
Liebe Grüße
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10673
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-05-25 20:36
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Hallo Thales,
habt ihr das Grenzwertkriterium schon zur Verfügung? Damit ginge es hier wohl am einfachsten.
Ansonsten kann man natürlich auch das Minorantenkriterium verwenden, denn fast alle Reihenglieder sind hier positiv.
Gruß, Diophant
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Thales111
Junior
Dabei seit: 10.03.2022
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-25 21:03
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Hallo Diophant,
dankeschön. Das Grenzwertkriterium haben wir leider noch nicht zur Verfügung. Das Minorantenkriterium würde ich gerne verwenden, aber mir fällt leider (noch) keine geeignete Reihe zur Abschätzung ein.
Liebe Grüße
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10673
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-05-25 21:12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-05-25 21:03 - Thales111 in Beitrag No. 4)
dankeschön. Das Grenzwertkriterium haben wir leider noch nicht zur Verfügung. Das Minorantenkriterium würde ich gerne verwenden, aber mir fällt leider (noch) keine geeignete Reihe zur Abschätzung ein.
\quoteoff
Man kann so eine Abschätzung ja auch in mehreren Schritten gewinnen. Mir fällt hier spontan eine solche Abschätzung ein, die in zwei Schritten ersichtlich wird.
Ein (positiver) Bruch wird ja kleiner, wenn man seinen Nenner vergößert. Dann gilt sicherlich für \(n>1\):
\[\frac{n-1}{n^2+1}>\frac{n-1}{n^2+n^2}=\frac{n-1}{2n^2}\]
Jetzt kann man leicht ein Vielfaches der harmonischen Reihe finden, mit dem man hier erneut nach unten abschätzen kann. Versuche es einmal!
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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willyengland
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2016
Mitteilungen: 496
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-05-26 13:08
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\quoteon(2023-05-25 20:29 - Thales111 in Beitrag No. 2)
Hallo,
vielen Dank. Ja, das hatte ich schon versucht und das Ganze gekürzt zu (n-1)/(n^2+1).\quoteoff
Das war aber nicht kürzen mit der höchsten Potenz.
Die ist n^3.
Dann hast du im Zähler Null und unten 1.
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Diophant
Senior
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-05-26 13:16
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@willyengland:
\quoteon(2023-05-26 13:08 - willyengland in Beitrag No. 6)
\quoteon(2023-05-25 20:29 - Thales111 in Beitrag No. 2)
vielen Dank. Ja, das hatte ich schon versucht und das Ganze gekürzt zu (n-1)/(n^2+1).\quoteoff
Das war aber nicht kürzen mit der höchsten Potenz.
Die ist n^3.
Dann hast du im Zähler Null und unten 1.
\quoteoff
Zu was soll das in diesem Zusammenhang gut sein?
Gruß, Diophant
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willyengland
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2016
Mitteilungen: 496
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-05-26 14:54
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Ja, stimmt, das hilft hier nicht. 🙁
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Thales111
Junior
Dabei seit: 10.03.2022
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-26 16:51
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Danke! Ich denke, ich hab's...
Ich habe es zu 1/2n-1/2n^2 bzw. 1/2*1/n - 1/2*1/n^2 umgeformt. Der Minuend divergiert, der Subtrahend konvergiert. So dürfte die Divergenz gezeigt sein, hoffe ich.
Liebe Grüße
Thales
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Diophant
Senior
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-05-26 17:13
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-05-26 16:51 - Thales111 in Beitrag No. 9)
Danke! Ich denke, ich hab's...
Ich habe es zu 1/2n-1/2n^2 bzw. 1/2*1/n - 1/2*1/n^2 umgeformt. Der Minuend divergiert, der Subtrahend konvergiert. So dürfte die Divergenz gezeigt sein, hoffe ich.
\quoteoff
Das kommt wieder darauf an, was du alles so verwenden darfst (also prinzipell: ja).
Alternativ könntest du wie gesagt durch eine harmonische Redeihe abschätzen:
\[\frac{n-1}{2n^2}>\frac{1}{\alpha n}\]
Bestimme doch spaßeshalber \(\alpha\) einmal so, dass die obige Ungleichung ab einem gewissen \(N_0\in\IN\) gilt (das geht sehr einfach, indem man die Ungleichung geeignet umformt). Dann hättest du eine saubere Version per Minoranten-Kriterium, die ohne Rückgriff auf weitere Argumentation funktioniert.
Gtruß, Diophant\(\endgroup\)
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