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| Autor |
 Komplexe Zahlen in der Quantenphysik |
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kannix
Junior 
Dabei seit: 18.05.2023
Mitteilungen: 11
 |  Themenstart: 2023-05-26 11:13
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Hallo liebe Physik-Profis !
Ich habe in auf eine Frage zum Thema "Operatoren" hier viele ganz ausgezeichnete Antworten bekommen, die mein Verständnis der Thematik sehr befördert haben.
Habt ihr Lust, euch am Rande noch mit anderen Fragen zu beschäftigen ?
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Was machen die komplexen Zahlen hier ?
Für den Elektriker, wie schon angesprochen, ein praktisches Werkzeug zur Rechnung mit harmonischen Schwingungen. Phase zwischen den Signalen usw.
Und hier ? Eine komplexe Größe für den Weg zum Beispiel ?
Gibt's dann einen Blindweg, also eine Länge mit Realteil Null ;-) ?
Gibt es irgendeine anschauliche Erklärung, ein Beispiel, was der Imaginärteil in der Quantenphysik tut ?
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 Profil
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4610
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-26 13:52
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Dass sich die Quantenmechanik in einem komplexen Hilbertraum abspielt, bedeutet nicht, dass die Messwerte von Größen wie dem Ort, dem Impuls oder der Energie komplex werden, denn die Operatoren, die solche Größen darstellen, haben eine bestimmte mathematische Eigenschaft (sie sind selbstadjungiert), die dafür sorgt, dass die möglichen Messwerte (mathematisch sind das die Werte des Spektrums des Operators) reell sind.
Tatsächlich lässt sich ein Großteil der Quantenmechanik auch in einem reellen Hilbertraum treiben. Was einen komplexen Hilbertraum auszeichnet, ist ein Zusammenhang zwischen messbaren Größen (wie Ort, Impuls und Energie) und Transformationen (wie einer räumlichen Verschiebung oder einer zeitlichen Entwicklung). So beschreibt der Operator, der den Impuls beschreibt, zugleich auch Verschiebungen, und der Operator, der die Energie beschreibt, zugleich auch zeitliche Entwicklungen.
Mathematisch bedeutet dieser Zusammenhang, dass eine Transformation, die sich nur wenig von der Identität unterscheidet, die Form $1+\lambda Y$ mit einem kleinen Parameter $\lambda$ und einem Operator $Y$ hat, für den $X=iY$ eine messbare Größe beschreibt. (Dahinter steht der Satz von Stone.)
In einem reellen Hilbertraum gibt es diesen Zusammenhang nicht, weil man, vereinfacht gesagt, von $Y$ mit $Y^*=-Y$ nicht einfach durch Multiplikation mit $i$ zu $X$ mit $X^*=X$ übergehen kann.
Eine prominente Formel, die auf der Doppelrolle von Operatoren als messbare Größen und Erzeugern von Transformationen basiert und in der die in einem reellen Hilbertraum nicht verfügbare Zahl $i$ vorkommt, ist die kanonische Vertauschungsrelation $XP-PX=i\hbar$.
--zippy
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kannix
Junior
Dabei seit: 18.05.2023
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-28 13:21
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Danke für die Antwort.
Ich verstehe soviel vermutlich richtig : meine Versuche, die Quanten-Mathematik auf eine "Verständnis"-Ebene zu kriegen, sind bislang gescheitert.
Als Techniker bin ich immer gut damit gefahren, theoretische Zusammenhänge und mathematische Operationen möglichst nicht nur ausführen zu können, sondern dem Ganzen eine für mich anschauliche, verstehbare Basis zu geben.
Ich nenne ein Beispiel : Die Fourierrechnung, die Zeit und Spektrum in der Nachrichtentechnik verknüpft. Auch Studierende profitieren hier sehr, wenn sie den Begriff "Spektrum", so wie er in diesem Kontext benutzt wird, richtig verstehen.
Du schreibst : "...die möglichen Messwerte (mathematisch sind das die Werte des Spektrums des Operators) ". Und auch hier wird Fourier angewendet. Diese verallgemeinerte Anwendung des Begriffs "Spektrum" macht mir dann Probleme, weil mein (altes) Hirn dauernd versucht, Anschaulichkeit zu erzeugen.
.. shut up and calculate, oder ?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4610
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-05-28 17:04
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\quoteon(2023-05-28 13:21 - kannix in Beitrag No. 2)
oder ?
\quoteoff
Du könntest ganz altmodisch vorgehen und zu einem Lehrbuch greifen.
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| kannix hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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