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| Autor |
 Summe der Quadrate |
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yaaara
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2023
Mitteilungen: 29
 |  Themenstart: 2023-05-28
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Gegeben seien Punkte \( P_{1}, \ldots, P_{m} \in \mathbb{R}^{n} \).
Für welchen Punkt \( P \in \mathbb{R}^{n} \) ist die Summe der Quadrate der Distanzen zu \( P_{1}, \ldots, P_{m} \) minimal?
Ich kann die Aufgabe nicht einordnen.
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
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|  Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-28
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Hi :)
Ok, sei $p_k$ der Ortsvektor von $P_k$, dann wollen wir $\displaystyle\sum_{k=1}^m\|x-p_k\|_2^2$ minimieren. Bilde den Gradienten und setze ihn Null.
Diese Aufgabe könnte sogar mit quadratischer Ergänzung gelöst werden.
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yaaara
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-28
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\quoteon(2023-05-28 14:22 - ochen in Beitrag No. 1)
Hi :)
Diese Aufgabe könnte sogar mit quadratischer Ergänzung gelöst werden.
\quoteoff
quadratische Ergänzung:
\(\left\|P-P_{k}\right\|_{2}^{2}=\left(P-P_{k}\right)^{T}\left(P-P_{k}\right)=P^{T} P-2 P_{k}^{T} P+P_{k}^{T} P_{k}\)
ist sie so richtig?
Dann Die Summe über \( k \) bilden:
\(f(P)=\sum \limits_{k=1}^{m}\left(P^{T} P-2 P_{k}^{T} P+P_{k}^{T} P_{k}\right)=m P^{T} P-2 \sum \limits_{k=1}^{m} P_{k}^{T} P+\sum \limits_{k=1}^{m} P_{k}^{T} P_{k}\)
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ochen
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-05-30
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\quoteon(2023-05-28 14:44 - yaaara in Beitrag No. 2)
\quoteon(2023-05-28 14:22 - ochen in Beitrag No. 1)
Hi :)
Diese Aufgabe könnte sogar mit quadratischer Ergänzung gelöst werden.
\quoteoff
quadratische Ergänzung:
\(\left\|P-P_{k}\right\|_{2}^{2}=\left(P-P_{k}\right)^{T}\left(P-P_{k}\right)=P^{T} P-2 P_{k}^{T} P+P_{k}^{T} P_{k}\)
ist sie so richtig?
\quoteoff
Da ist noch nichts ergänzt :P
\quoteon
Dann die Summe über \( k \) bilden:
\(f(P)=\sum \limits_{k=1}^{m}\left(P^{T} P-2 P_{k}^{T} P+P_{k}^{T} P_{k}\right)=m P^{T} P-2 \sum \limits_{k=1}^{m} P_{k}^{T} P+\sum \limits_{k=1}^{m} P_{k}^{T} P_{k}\)
\quoteoff
Genau an der Stelle kann man eine quadratische Ergänzung machen. Mir ist die Schreibweise mit dem Skalarprodukt lieber, aber egal.
Wir haben
\[
f(P)=m \cdot \left(P^{T} P- \frac 2m \sum \limits_{k=1}^{m} P_{k}^{T} P\right)+\sum \limits_{k=1}^{m} P_{k}^{T} P_{k}.
\]
An dem letzten Summanden können wir nichts mehr machen, der ist konstant. Außerdem ist $m$ positiv. Wir wollen also \[P^{T} P- \frac 2m \sum \limits_{k=1}^{m} P_{k}^{T} P=P^{T} P- 2 P^T\cdot \frac 1m\sum \limits_{k=1}^{m} P_{k}\] minimieren. Dazu addieren wir etwas, damit es nach der 2.Binomischen Formel aussieht und ziehen es gleich wieder ab.
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