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| Autor |
 schriftliche Division |
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Dombur
Junior 
Dabei seit: 05.05.2023
Mitteilungen: 9
 |  Themenstart: 2023-05-30
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Ich bin ja ganz gut in der Schule. Aber ich ecke an, wo es nur geht. Wahrscheinlich ist es auch nicht leicht, mein Lehrer zu sein.
Dieses Mal habe ich die schriftliche Division nochmal aufgerollt. Warum funktioniert das eigentlich so? Wir haben das mal so gelernt, aber nie verstanden, warum.
Ich wage mal zu behaupten, dass ich die schriftliche Multiplikation zu 100% kapiert habe. Das ist ja in letzter Konsequenz nur die Anwendung des Distributivgesetzes.
Mir ist schon klar, dass sich jede Division durch die entsprechenden Multiplikationen Schritt für Schritt selbst rechtfertigt. Man überlegt sich ja in jedem Schritt, mit welcher Ziffer ich den Divisor multiplizieren muss, damit die nächste Ziffer des Produktes mit derjenigen des Dividenden übereinstimmt. Aber warum geht von Anfang bis Ende immer alles glatt? Warum findet man immer passende Ziffern?
Ohne ein Beispiel kann ich schwer erklären, an welcher Stelle mir das ganze seltsam vorkommt. Also, hier ein Beispiel:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56311_1_Division.png
Kann das jemand ohne höhere Algebra erklären? Das muss doch mit elementaren Begriffen aus der Schule begreifbar sein.
Gruß
der Dombur
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2623
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-30
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
der Algorithmus funktioniert ja wie folgt:
Betrachten wir $169:14$. Wir betrachten zunächst die ersten beiden Ziffern, also $16$. Das größte Vielfache von $14$, das kleiner als $16$ ist, ist $1\cdot 14=14$. Es bleibt ein Rest von $16-14=2$.
Als nächstes betrachten wir $29$. Hier ist das größte Vielfache, welches kleiner als $29$ ist, $2\cdot 14=28$. Es bleibt ein Rest von $29-28=1$.
Insgesamt haben wir
$$
169=(1\cdot 14+2)\cdot 10+9=14\cdot 10+29=14\cdot 10+(2\cdot 14+1)=14\cdot 10+2\cdot 14+1=12\cdot 14+1
$$
gerechnet.
Die entscheidende Beobachtung, warum das immer funktioniert, ist der folgende
Satz. Es seien $p,q\in \mathbb N$ mit $0\neq q
Dieser Satz beruht dabei wiederum auf der Tatsache, dass jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen ein kleinstes Element besitzt.
\showon Kurze Ausführung dazu
Wir können dann z.B. die Menge
$$
M:=\lbrace m\in \mathbb N\mid mq\geq p\rbrace\subseteq \mathbb N
$$
betrachten.
Wenn $p=\min(M)q$ gilt, dann sind wir fertig. Andernfalls: Weil $0\geq p$ und $q\geq p$ unmöglich sind, haben wir $\min(M)\geq 2$ und somit $n:=\min(M)-1\geq 1$. Weiterhin ist in diesem Fall $nq\(\endgroup\)
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