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 Maximum-Funktionen |
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NffN1
Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2020
Mitteilungen: 172
 |  Themenstart: 2023-05-30
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Guten Tag,
anbei die Angabe des Problems (auf englisch):
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/52981_1_Capture.PNG
Wie würde man vorgehen um das zu lösen?
MfG,
Noah
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ochen
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| Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-30
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Hi :)
bei der ersten Funktion vermute ich, dass es \(\displaystyle
M_Lf(x):=\sup_{h>0}\frac 1h\int_{x-h}^xf(y)dy
\) sein soll. Hast du irgendwelche Voraussetzungen an $f$? Stetigkeit oder Ähnliches? Und was ist $Mf(x)$?
i) In dimension $d = 1$ consider the following maximal functions
\[
\begin{align*}
M_Lf(x)&=\sup_{h>0}\frac 1h\int_{x-h}^xf(y)dy\\
M_Sf(x)&=\sup_{h>0}\frac 1{2h}\int_{x-h}^{x+h}f(y)dy\\
M_Rf(x)&=\sup_{h>0}\frac 1h\int_{x}^{x+h}f(y)dy
\end{align*}
\]
Show that there are constants $c$ and $C$ (determine them explicitly) such
that
\[cMf(x) < M_Af(x)
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NffN1
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-30
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Für f werden keine Voraussetzungen gegeben. Also glaube ich dass nur $f\in L^1$ gelten muss.
Mf(x) ist die Hardy Littlewood maximal function.
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-05-30
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Ok, und was ist die Hardy–Littlewood maximal function im Falle von $d=1$. Schreibe es konkret hin. Ist $f$ nicht-negativ?
Laut Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Littlewood_maximal_function) ist $Mf$
\[
Mf(x)=\sup_{r>0} \frac{1}{|B(x, r)|}\int_{B(x, r)} |f(y)|\, dy
\]
Und kannst du bitte das Bild oder den Aufgabentext noch in den Themenstart einbinden?
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NffN1
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-30
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Ich schätze mal dass
$Mf(x)=sup_{I}\frac{1}{|I|}\int_I|f(y)|dy$, wobei I alle Intervalle sind ind denen x enthalten ist.
Soweit ich weiss kann f auch negativ sein.
"Und kannst du bitte das Bild oder den Aufgabentext noch in den Themenstart einbinden?"
Wie macht man das?
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8388
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.5, eingetragen 2023-05-30
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\quoteon(2023-05-30 12:44 - NffN1 in Beitrag No. 4)
"Und kannst du bitte das Bild oder den Aufgabentext noch in den Themenstart einbinden?"
Wie macht man das?
\quoteoff
So:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/52981_1_Capture.PNG
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
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Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-05-30
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Hi nochmal, dann muss die Aufgabenstellung einen Fehler enthalten. Für $f\colon \mathbb R\to \mathbb R, \, x\mapsto -1$ gilt $Mf(x) =1$ und $M_Af(x) =-1$ für alle $x\in \mathbb R$.
Vielleicht sollten die Funktionen in der Aufgabenstellung stattdessen
\[
\begin{align*}
M_Lf(x)&=\sup_{h>0}\frac 1h\int_{x-h}^x|f(y)|dy\\
M_Sf(x)&=\sup_{h>0}\frac 1{2h}\int_{x-h}^{x+h}|f(y)|dy\\
M_Rf(x)&=\sup_{h>0}\frac 1h\int_{x}^{x+h}|f(y)|dy
\end{align*}
\]
lauten, aber das ist auch nur wild geraten. Falls es so ist, dann hilft es, dass $[x-h, x]$, $[x-h, x+h]$ und $[x, x+h]$ spezielle Intervalle sind, die $x$ enthalten.
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