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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Anfangswertproblem....
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Universität/Hochschule J Anfangswertproblem....
smoker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-11-07


Hallo an alle,

ich hab folgende Aufgabe:


x²(y' + y²) = 2(xy - 1), y(a) = b.

(1) Ich habe z(x) := xy(x) für eine Lösung y betrachtet, komm jedoch nicht weiter, kann mir da jemand helfen?
(2) Was ist das für eine DGL, kann sie nicht zuordnen.

MfG, smoker.



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-07


Hallo smoker,

das ist eine Riccati-Differentialgleichung, und die ist tricky.

Der Aufgabensteller hat Euch nicht mehr verraten als das, was dasteht?

Probiers mal damit:

Eine spezielle Lösung ist

y1(x) = 1/x

und dann kommst Du mit der Substitution

y(x) = 1/x + 1/u(x)

zur Lösung Deines Anfangswertproblemes.

Hoffe damit kommst Du klar, wenn nicht melde Dich nochmal

Gruss




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smoker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-07


Hi Spock,
richtig klar ist mir das nicht. Mein Prof. hat letzte Woche die Bernoulli-Gleichung eingeführt. Mit der speziellen Lösung kann ich doch die von oben umgeschriebene GL (y' = -1/x² + 2y1/x - y²) in die Bernoulli-GL bringen, oder wie soll ich dein Tipp verstehen?
Kannst du mir noch ein Tipp geben? Danke!

MfG, smoker.



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-07


Hallo smoker,

ja, für manche Typen von Riccati-DGLs kommst Du, wenn Du eine spezielle Lösung kennst, mit obigem Ansatz (manchmal) zu einer einfacheren Bernoulli DGL Aber halt Dich mal nicht an den Namen fest, Bernoulli, Ricatti oder die "high end" DGL vom Typ Abel, man muß sich einfach ein wenig damit beschäftigen.

Dein Ricatti-Typ hat die etwas allgemeinere Form

(1): y' + y² + f(x)*(x*y - 1) = 0

Eine spezielle Lösung ist, wie oben schon getippt

(2): y1(x) = 1/x

und die eigentliche Frage ist, wie kommt man auf das?

Na ja, jedenfalls, wenn man eine spezielle Lösung y1(x) der DGL (1)  kennt, führt doch die Substitution

(3): y(x) = y1(x) + 1/u(x)

auf die DGL

(4): u' - (x*f(x) + 2/x)*u = 1

Gleichung (4) sieht nicht unbedingt hübscher aus als das ursprüngliche Problem (1), aber immerhin, die gesuchte Funktion taucht nicht mehr quadratisch auf. Und in deinem konkreten Fall mit

f(x) = -2/x²

lautet die DGL (4) für u(x) wie? Schreib sie mal hin, und dann sollte die Lösung doch zu finden sein?

Probier ein wenig und vergiß den Spaß dabei nicht

Gruß
-----------------


[ Nachricht wurde editiert von Spock am 2002-11-07 22:02 ]



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smoker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-08


Hi Spock,
das hat mir geholfen, danke dir. Ob es Spass macht, ist eine andere Frage :).

Bis zum nächsten Mal, smoker.



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