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  Reihe auf Konvergenz untersuchen |
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Suppe_Helme
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 |  Themenstart: 2023-09-17 23:32
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[Dieser Thread wurde abgespalten von [diesem Thread] von nzimme10]
Hallo Wauzi,
vielen Dank für deinen Beitrag.
Ich wollte die Ideen mal anhand der folgenden Reihe testen
$ \left| \sin(1 + \pi n) \cdot \frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2} \right| \leq \frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2} $
diese erste Abschätzung habe ich schon hinbekommen und ich vermute auch, dass die Reihe konvergiert.
jetzt weiter grob abzuschätzen fällt mir schwer, da ich (ich schildere mal meinen Gedankengang einfach damit man vielleicht meinen Fehler sehen kann):
ich würde gerne nach oben gegen \(1(n^2\) abschätzen, da die Majorante bekannt konvergiert.
der Ausdruck \(\lim_{{n \to \infty}} \sqrt[n]{n!}= \infty\) divergiert, weshalb leider das "Grenzwert testen" (ich glaube das hattest du damit gemeint) als Abschätzungsmethode nicht funktioniert.
Andererseits ist die n-te Wurzel ganz gut, da sie das starke Wachstum von \(n!\) bremst und für die (vermutete) Konvergenz sorgt.
den Nenner kann ich nur kleiner machen, wenn ich nach oben abschätzen will, was ich aber gerade nicht machen will, da \(n^2\) eigentlich sowieso stehen bleiben soll. In jedem Fall aber \(n^x\) mit \(x>1\).
Dann sollte ich die Fakultät bearbeiten, aber Abschätzungen wie \(n^n\) oder ähnliches ist zu hoch abgeschätzt. Die korrekte Abschätzung will mir nicht gelingen.
Ist mein "Ansatz" falsch gedacht?
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polygamma
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-18 00:12
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Zuerst sollte man auf $\sin(1+\pi\cdot n)$ schauen.
Für gerades $n$ erhalten wir $\sin(1)$ und für ungerades $n$ erhalten wir $-\sin(1)$ und somit können wir die Reihe einfach als simple, alternierende Reihe auffassen.
$$\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\sin(1)\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}$$
Kommst du damit weiter? Falls nein:
\showon
Die Reihe ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent.
\showoff
Zur Frage der absoluten Konvergenz, siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel
Es gilt: $$\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}>\frac{\sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}}{n^2}>\frac{\sqrt[n]{\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}}{n^2}=\frac{e^{-1}}{n^{1-\frac{1}{2n}}}$$
Aus "scharf hingucken" folgt, dass $$\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{-1}}{n^{1-\frac{1}{2n}}}$$ divergiert und somit divergiert auch $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}$$
Kommst du damit weiter? Falls nein:
\showon
Es fehlt nur der $\sin(1)$ Faktor in dem bereits genannten.
$$\sum_{n=1}^\infty\left|(-1)^n\sin(1)\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}\right|=\sum_{n=1}^\infty\sin(1)\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}$$
Also liegt keine absolute Konvergenz vor.
\showoff
Liebe Grüße
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nzimme10
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-09-18 00:19
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo Suppe_Helme,
ich halte es für den falschen weg, bei jeder Reihe gleich vorgehen zu wollen. Manche Reihen gehören zu einer gewissen Familie von Reihen und können daher mit ähnlichen Argumenten behandelt werden.
Aber im Allgemeinen würde ich sagen, solltest du dir jede Reihe erstmal in Ruhe ansehen und vielleicht zunächst mal intuitiv eine Idee bekommen, ob die Reihe konvergiert und warum. Es sollte nicht unbedingt der erste Instinkt sein, auf Teufel komm raus eine Abschätzung zu finden. Da kann man sich sonst ziemlich verlaufen, vor allem, wenn die Reihe entgegen deiner Erwartung gar nicht konvergent oder zumindest nicht absolut konvergent sein sollte.
Deine neue Reihe ist ein gutes Beispiel dafür. Man könnte die Abschätzung zum Beispiel durch
$$
\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}=\left(\frac{n!}{n^n}\cdot \frac{1}{n^n}\right)^{1/n}\leq \left(\frac{1}{n^n}\right)^{1/n}=\frac{1}{n}
$$
fortführen, aber das bringt einem als Majorante nichts. Ist die Abschätzung zu schlecht? Oder ist die Reihe eventuell gar nicht absolut konvergent? Darüber muss man sich jetzt Gedanken machen. Selbst wenn man dann hier zu der Erkenntnis kommt, dass die Reihe mit den Beträgen divergent sein sollte, dann muss man sich das ganze ja nochmal ohne die Beträge ansehen etc.
LG Nico
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]\(\endgroup\)
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Suppe_Helme
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-18 13:05
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Hallo,
vielen Dank, ich sehe ich habe nicht richtig über den sinus term nachgedacht und habe eher versucht, wie Nico passend beschrieben hat:
\quoteon(2023-09-18 00:19 - nzimme10 in Beitrag No. 10)
auf Teufel komm raus eine Abschätzung zu finden.
\quoteoff
Der Nachweis der gewöhnlichen Konvergenz über das Leibniz-Kriterium ist mir denke ich gelungen:
1. Folge monoton fallend (ich habe den Sinus am Anfang rausgekürzt)
$\frac{\sqrt[n+1]{(n+1)!}}{(n+1)^2} \leq \frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}$
$ \left( \frac{(n+1)!}{(n+1)^{2n+2}} \right)^{\frac{1}{n}} \leq \left( \frac{n!}{n^{2n}} \right)^{\frac{1}{n}} \quad \bigg| \quad (...)^n $
$\frac{(n+1)!}{(n+1)^{2n+2}} \leq \frac{n!}{n^{2n}} \quad \bigg| \quad : n!$
$\frac{1}{(n+1)^{2n}} \leq \frac{1}{n^{2n}}$ was eine wahre Aussage ist.
Ich bin mir ehrlich gesagt unsicher, ob das so ok ist, da das Potenzieren mit \(n\) meines Wissens nach keine Äquivalenzumformung ist.
Den Nachweis über die Nullfolge habe ich dann mit dem Sandwichsatz gemacht mit:
$0 \leq \lim_{{n \to \infty}} (-1)^n \sin(1) \sqrt[n]{\frac{n!}{n^2}} \leq \lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n}$
Ingesamt konvergiert die Reihe dann nach dem Leibnizkriterium.
Bezüglich der absoluten Konvergenz:
die Stirling-Formel dürfen wir leider nicht benutzen.
Kann man aber vielleicht etwas ähnliches mit
\(n! ≥ (\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}\) basteln?
Ich glaube eigentlich müsste wohl noch eine Gaußklammer verwendet werden, die dann aber das weitere rechnen erschwert?
Idealerweise bekommt man dann \(n! ≥ \sqrt{n} \cdot (\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}\) hin.
Ich hatte das mal mit den natürlichen Zahlen von 4 bis 7 getestet und da hatte es auch ohne Gaußklammer geklappt. Das ist jetzt natürlich kein Beweis und ich sehe nicht, wie diese Abschätzung direkt ersichtlich wird, womit ich also nicht weiterkomme.
Ist das ein Ansatz der sich lohnt, oder erleidet man damit Schiffbruch?
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polygamma
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-09-18 13:08
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Hey :)
Kurze Anmerkung: Ich habe leider keine Zeit, noch auf deine neue Antwort einzugehen, das müsste "wer anders übernehmen".
Liebe Grüße
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-09-18 17:58
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo Suppe_Helme,
solange alle Ausdrücke nichtnegativ sind, ist potenzieren mit $n$ auch eine Äquivalenzumformung. Allerdings sind deine Umformungen nicht ganz richtig. Bei dir steht auf beiden Seiten $1/n$ als Exponent. Auf der linken Seite sollte aber $1/(n+1)$ dort stehen etc.
Für die absolute Konvergenz haben wir
$$
\left|\sin(1+\pi n)\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}\right|=\sin(1)\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}.
$$
Jetzt könnte man z.B. das Grenzwertkriterium benutzen. Wir haben
$$
\frac{\sin(1)\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}}{\frac 1n}=\sin(1)\frac{(n!)^{1/n}}{n}\overset{n\to \infty}{\longrightarrow}\sin(1)\,\e^{-1}.
$$
Da $\sum_{n=1}^\infty \frac 1n$ divergiert, folgt auch die Divergenz der Reihe $\sum_{n=1}^\infty \sin(1)\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}$.
Nachtrag: Den behaupteten Grenzwert verifiziert man mit Hilfe der Stirlingschen Approximation recht schnell. Alternativ bemerke man, dass
$$
\frac 1n\ln\left(\frac{n!}{n^n}\right)=\sum_{k=1}^n \ln\left(\frac kn\right)\frac 1n
$$
gilt. Das ist eine Riemannsche Summe für $\int_0^1 \ln(x) \dd x$. Man muss vielleicht noch etwas drüber nachdenken, ob das alles legitim ist, aber man überzeugt sich dann von
$$
\lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=1}^n \ln\left(\frac kn\right)\frac 1n\right)=\int_0^1\ln(x)\dd x.
$$
Nachtrag 2: Polygamma hat mich nochmal darauf hingewiesen, dass der konkrete Grenzwert für das Kriterium egal ist. Das stimmt natürlich. Man muss sich also gar nicht solch einen Aufwand machen. Es würde auch
$$
\liminf_{n\to \infty}\left(\sin(1)\frac{(n!)^{1/n}}{n}\right)>0
$$
reichen.
LG Nico\(\endgroup\)
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polygamma
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-09-18 21:48
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Hatte noch eine Idee für eine Abschätzung, die ohne Stirling auskommt :)
Man siehe Satz 1.5.6 für einen Beweis.
Es gilt $$n!\geq 3\left(\frac{n}{3}\right)^n\geq\left(\frac{n}{3}\right)^n$$
Somit $$\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}\geq\frac{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^n}}{n^2}=\frac{1}{3n}$$
Fertig ;D
Nachtrag zu Nachtrag 2 aus Beitrag #5:
Mit "derselben Argumentation wie oben" folgt $$\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\geq\frac{1}{3}$$
(Sorry, den Nachtrag konnte ich mir nicht verkneifen ;D)
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Suppe_Helme
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-19 14:19
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cool, vielen Dank mal wieder für eure Beiträge.Ich lese mir die jetzt mal in Ruhe durch.
Bezüglich des Monotonie-Nachweises könnte man ja vielleicht auch mit der Bernoulli-Ungleichung arbeiten?
ich habe die Ausgangsbehauptung umgeformt zu
$ (n+1)^n \cdot (1+ \frac{1}{n})^{-2n(n+1)} ≤ n! $ womit man eine gute Ausgangsform für die Bernoulli-Ungleichung hat.
das wollte ich dann über Induktion nachweisen und das darin dann irgendwie mit der Bernoulli-Ungleichung verwursten:
IA:
$ 1! ≥ (1+1)^1 \cdot (1+\frac{1}{1})^{-2 \cdot 1(1+1} = \frac{1}{8} $
IS: $ n \Rightarrow n+1$
$ (n+1)! = (n+1) \cdot n! \geqslant^{\mathrm{IV}} (n+1) \cdot (n+1)^n \cdot (1 + \frac{1}{n})^{-2n(n+1)}$
wie man da jetzt aber clever weitermacht weiß ich leider nicht (wenn das überhaupt der richtige Weg ist).
LG
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polygamma
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-09-19 14:26
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Hallo, Suppe_Helme :)
Wir drehen uns in gewisser Weise ein bisschen im Kreis.
Du präsentierst "Ideen", aber wirklich in absoluter Rohform, und sagst dann, dass du nicht weißt, wie es weitergeht.
Dann antworten dir Mitglieder mit in der Regel (fast) fertigen Lösungen - und das war es dann.
Ich verstehe z. B. nicht, warum du nun direkt einen komplett neuen Ansatz probierst?
Nico hatte doch nur gesagt, dass deine Umformungen nicht ganz richtig sind.
Er hatte nicht gesagt, dass der gesamte Ansatz zum Scheitern verurteilt ist.
(Ich mache mal bewusst keine explizite Aussage darüber, ob der Ansatz zum Scheitern verurteilt ist oder nicht - das solltest jetzt du herausfinden)
Ich denke es wäre sehr hilfreich, wenn du mehr selbst probieren würdest, und wenn du nicht weiterkommst, solltest du nicht nur schreiben, dass du nicht weiterkommst, sondern im Detail ausführen, welche Gedanken du dir schon gemacht hast.
Denn, dann kann man auf deine Gedanken eingehen, und z. B. sagen, welche davon weiterverfolgt werden sollten und welche Gedanken nicht zielführend sind.
Liebe Grüße
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Suppe_Helme
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-19 15:05
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Hi :)
\quoteon(2023-09-19 14:26 - polygamma in Beitrag No. 8)
Ich verstehe z. B. nicht, warum du nun direkt einen komplett neuen Ansatz probierst?
Nico hatte doch nur gesagt, dass deine Umformungen nicht ganz richtig sind.
Er hatte nicht gesagt, dass der gesamte Ansatz zum Scheitern verurteilt ist.
(Ich mache mal bewusst keine explizite Aussage darüber, ob der Ansatz zum Scheitern verurteilt ist oder nicht - das solltest jetzt du herausfinden)
\quoteoff
naja, weil ich eben der Meinung war, hier nicht weiterzukommen :D
\quoteon(2023-09-19 14:26 - polygamma in Beitrag No. 8)
Denn, dann kann man auf deine Gedanken eingehen, und z. B. sagen, welche davon weiterverfolgt werden sollten und welche Gedanken nicht zielführend sind.
\quoteoff
das mit der Bernoulli-Ungleichung waren ja meine Gedanken? Ich habe das eigentlich nur reingeposted um vielleicht verifizieren zu lassen, dass das so geht. Eine fertige Lösung habe ich nie verlangt.
Also jetzt bspw. mal hier: es ist ja eigentlich ganz klar, wo ich hin will. Wenn mir jetzt die passenden Umformungen nicht einfallen, weil ich platt gesagt zu doof bin, was soll ich dir da für Gedankengänge vermitteln? Verstehe ich nicht.
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polygamma
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-09-19 15:11
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\quoteon(2023-09-19 15:05 - Suppe_Helme in Beitrag No. 9)
naja, weil ich eben der Meinung war, hier nicht weiterzukommen :D
\quoteoff
Dann solltest du das begründen - und zwar im Detail.
\quoteon(2023-09-19 14:26 - polygamma in Beitrag No. 8)
das mit der Bernoulli-Ungleichung waren ja meine Gedanken?
\quoteoff
Dann wirken deine Gedanken wahllos zusammengewürfelt.
In anderen Worten wirkt es so, als würdest du fast schon zufällig "Dinge zusammenwürfeln", ohne dass du dafür plausible Begründungen hast.
Ich betone, dass es "so wirkt", was nicht zwangsläufig impliziert, dass es auch so ist, aber du musst wirklich anfangen, viel mehr im Detail zu schildern, warum du denkst, was du denkst.
\quoteon(2023-09-19 15:05 - Suppe_Helme in Beitrag No. 9)
Ich habe das eigentlich nur reingeposted um vielleicht verifizieren zu lassen, dass das so geht. Eine fertige Lösung habe ich nie verlangt.
\quoteoff
Und ich habe nie gesagt, dass du eine fertige Lösung verlangst.
Unabhängig davon, was du verlangst, ist das Ergebnis jedoch häufig genau das gewesen.
Die Lösungen mögen nicht zu 100% so ausformuliert gewesen sein, dass du sie 1 zu 1 auf deine Abgaben schreiben konntest, aber in der Regel sind in den Antworten, die du erhältst, alle wesentlichen Dinge abgedeckt.
\quoteon(2023-09-19 15:05 - Suppe_Helme in Beitrag No. 9)
Also jetzt bspw. mal hier: es ist ja eigentlich ganz klar, wo ich hin will. Wenn mir jetzt die passenden Umformungen nicht einfallen, weil ich platt gesagt zu doof bin, was soll ich dir da für Gedankengänge vermitteln? Verstehe ich nicht.
\quoteoff
Es geht darum, zu verstehen, auf welchem Niveau sich deine Gedanken bewegen, um anknüpfen zu können.
Wenn ich verstehe, auf welchem gedanklichen Niveau du dich bewegst, kann ich mich "hineindenken" in deine Gedanken und verstehen, was du nicht verstehst, ggf. sogar warum du es nicht verstehst.
Weiterhin kann man dann viel besser hilfreiche Tipps geben, damit du vielleicht zukünftig passende Umformungen selbst siehst.
Denn: Irgendwann musst du es können, oder du schaffst das Studium nicht.
Die "zu vermittelnden Gedankengänge" wären z. B. warum du an Induktion denkst und warum du an Bernoulli denkst.
Ich betone aber nochmal, dass wir "dieses neue Fass" vielleicht erst einmal ignorieren sollten, da wir eigentlich noch am 1. Ansatz hängen, wo du zwar der Meinung bist, dass man nicht weiterkommt, aber erst einmal geschaut werden sollte, was deine Begründung hinter der Meinung ist.
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Suppe_Helme
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-19 15:26
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\quoteon(2023-09-19 15:11 - polygamma in Beitrag No. 10)
Und ich habe nie gesagt, dass du eine fertige Lösung verlangst.
Unabhängig davon, was du verlangst, ist das Ergebnis jedoch häufig genau das gewesen.
Die Lösungen mögen nicht zu 100% so ausformuliert gewesen sein, dass du sie 1 zu 1 auf deine Abgaben schreiben konntest, aber in der Regel sind in den Antworten, die du erhältst, alle wesentlichen Dinge abgedeckt.
\quoteoff
naja, wie du sicher weißt ist das Sommersemester vorbei und die Klausuren auch. Was soll ich da bitte im August /September ür Abgaben gemacht haben die ich angeblich aus dem Matheplaneten kopiert hätte und was hätte mir das bringen sollen :D
Ich finde solche Unterstellungen nicht so sinnvoll und irgendwie auch vermessen.
Den Rest deiner Nachricht werde ich mir beherzigen.
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polygamma
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| Beitrag No.12, eingetragen 2023-09-19 15:30
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Ich weiß nicht, ob du mich bewusst oder unbewusst missverstehst, aber ich habe dir keine böse Intention o.Ä. unterstellt.
Der Matheplanet ist dazu da, Fragen zu stellen, auch zu Übungsaufgaben - und daran ist nichts verkehrt.
Ist ja nichts anderes als ein Tutorium - nur in digital und eben "anders".
Weiterhin nennst du August/September, ich habe aber nie einen Zeitraum spezifiziert ;)
In anderen Worten: Natürlich ist nicht jede Frage, die du auf dem Matheplaneten gestellt hast, überhaupt an eine konkrete Übungsaufgabe gekoppelt.
Wenn du jetzt sagst, dass du noch nie eine Frage gestellt hast zu etwas, das eine konkrete Übungsaufgabe von dir war, entschuldige ich mich und ziehe die Aussage zurück.
Es bleibt aber dabei, dass ich sowieso nicht darauf hinauswollte, als wäre irgendwas schlimm daran, hier nach Antworten zu fragen, und diese Antworten dann in Lösungen von Übungsaufgaben zu verwenden.
Ich wollte darauf hinaus, dass die Antworten, die du hier erhältst, letztendlich alles enthalten, was wichtig ist, und man sich dann die Frage stellen kann, wie groß der Lerneffekt ist, wenn von dir letztendlich nur sehr wenig beigesteuert wird.
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Suppe_Helme
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-19 15:46
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ich bin selbst Schüler, mein Bruder studiert und ich habe zu Beginn der Sommerferien und jetzt neben der Schule begonnen mich mit seinen alten Analysis 1 Unterlagen zu beschäftigen, das sollte die vermeintliche Entlarvung der Zeitraumbenennung usw. glattstellen. Danke. Deinen Post habe ich schon nicht falsch verstanden. Wie gesagt, das war unnötig, den Rest finde ich gut und werde ich mir auch beherzigen.
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polygamma
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| Beitrag No.14, eingetragen 2023-09-19 15:49
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\quoteon(2023-09-19 15:46 - Suppe_Helme in Beitrag No. 13)
Deinen Post habe ich schon nicht falsch verstanden. Wie gesagt, das war unnötig, den Rest finde ich gut und werde ich mir auch beherzigen.
\quoteoff
Wenn du ihn nicht falsch verstanden hast, frage ich mich, warum du denkst, dass es unnötig war ;)
Oder möchtest du sagen, dass das Folgende unnötig ist?
\quoteon(2023-09-19 15:30 - polygamma in Beitrag No. 12)
Ich wollte darauf hinaus, dass die Antworten, die du hier erhältst, letztendlich alles enthalten, was wichtig ist, und man sich dann die Frage stellen kann, wie groß der Lerneffekt ist, wenn von dir letztendlich nur sehr wenig beigesteuert wird.
\quoteoff
Diese Aussage gilt doch im Allgemeinen, unabhängig davon, ob du studierst oder nicht.
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nzimme10
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| Beitrag No.15, eingetragen 2023-09-19 15:56
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Hallo,
ungeachtet der konkreten Aussagen: Das ist hier gerade meiner Meinung nach nicht sonderlich zielführend. Wenn ihr euch irgendwie missverstanden haben solltet und ausführlich über solche generellen Dinge sprechen wollt, dann macht das vielleicht per Privatnachrichten. Andernfalls ist doch jetzt alles dazu gesagt und man kann sich wieder dem eigentlichen Thema widmen, oder es beim aktuellen Stand belassen :)
LG Nico
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Suppe_Helme
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-19 15:59
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ich habe doch aureichend klargemacht, was ich als unnötig an deinem Post empfunden habe.
Dieser Nachtrag von dir steht damit doch in keinerlei Beziehung und ist offensichtlich einer der Aspekte die ich als "gut" betitelt habe.
Ich glaube es ist jetzt auch mal gut, oder? Oder würdest du gerne noch mehr Zeit damit verbringen über meine Lerneffekte zu spekulieren.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]
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polygamma
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| Beitrag No.17, eingetragen 2023-09-20 07:14
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\quoteon(2023-09-19 15:56 - nzimme10 in Beitrag No. 15)
man kann sich wieder dem eigentlichen Thema widmen, oder es beim aktuellen Stand belassen :)
\quoteoff
Ich möchte noch einen Beweis für die Monotonie von $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}$ zeigen, auch wenn der Thread bereits abgehakt wurde, denn ich habe in den Raum geworfen, dass man die Konvergenz mithilfe des Leibniz-Kriteriums zeigen kann.
Zu zeigen ist also $$\frac{\sqrt[n+1]{(n+1)!}}{(n+1)^2}\leq\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}$$
$$\Longleftrightarrow \frac{(n+1)}{\sqrt[n]{n!}}\leq\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2(n+1)}$$
Es gilt jedoch $$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)}{\sqrt[n]{n!}}=e$$ und $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2(n+1)}=e^2$$ und somit für hinreichend große $n$ unsere Ungleichung.
Tatsächlich gilt sie für $n\geq1$ aber das ist hier nicht weiter relevant.
Nun noch einmal in Kürze, dass $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}$ eine Nullfolge ist.
Offensichtlich gilt $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}\geq0$ und $\frac{1}{n}$ konvergiert gegen $0$.
Nun genügt $$\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^2}\leq\frac{\sqrt[n]{n^n}}{n^2}=\frac{1}{n}$$
Fertig.
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Suppe_Helme hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Suppe_Helme hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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