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| Autor |
 collatz-artige Folgen aus Primzahlen |
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cramilu
Aktiv 
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2652
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 |  Themenstart: 2023-09-20
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Aus schierem Übermut bin ich gestern Abend
auf etwas gestoßen, womit Ihr Euch gerne bei
genügend großer Langeweile beschäftigen könnt:
Seien \(p_x\) und \(p_y\) zwei Primzahlen mit \(p_y>p_x\) .
Sei dann \(\mu\) die Familie der Folgen mit jeweiliger
Bildungsvorschrift
\(\mu_1\;=\;p_x\)
\(\mu_2\;=\;p_y\)
\(\mu_n\;=\;(\mu_{n-2}\cdot\mu_{n-1})\;\text{mod}\;(\mu_{n-2}+\mu_{n-1})\)
Solche Folgen scheinen für alle Anfangsbelegungen
\((p_x,p_y)\) collatz-artiges Verhalten zu zeigen, bei dem
sie sich irgendwann periodisch fortsetzen \(-\) oft auch
stationär auf einer einzigen Zahl verharrend.
Teilt gerne mit, ob es dazu schon bekannte fachliche
Quellen gibt, die mir trotz Websuche entgangen sind,
oder welche besonderen Perioden außer \(({...}\;\overline{,5,7,11})\)
Euch für welches Startpaar noch so unterkommen... 🤔
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MartinN
Aktiv 
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1413
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-22
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Warum sollte man nur mit Primzahlen starten? - und nicht allgemein ungerade Zahlen. Theoretisch kann die erste Zahl auch gerade sein, wenn die danach gewisse Bedingungen erfüllt (oder umgekehrt) - damit es danach ungerade weiter geht. Sind die ersten beiden Zahl gerade, so auch jede weitere - ob dann zwingend immer 0 entstehen muss (und damit die Folge abbricht), weiß ich nicht.
Angenommen man beginnt immer mit ungeraden Zahlen, so ist jede ungerade Zahl als "Grenzwert" möglich. Etwa man beginnt mit (1,a) oder (a,1) oder (a,a). Kommt allgemein mal (a,b,a) oder (a,a) in der Kette vor, so ist der Grenzwert a.
Interessant sind daher wohl eher Ketten, die nicht konstant sind... hab etwa noch (69,99,111), (69,111,99), (87,153,111), (87,111,153) oder (23,61,59,119,79,95) gefunden ^^
Oder vielleicht explodieren... bisher gehen diese Folgen aber ziemlich schnell in einen Zyklus (bzw. werden konstant). Hab mal bissl rumgespielt damit.
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2652
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-22
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Hallo MartinN, starte Du doch, womit Du willst!
😉
Ich hatte eben mit der dritten binomischen Formel
im Hinterkopf zunächst sogar bloß mit Primzahlzwil-
lingen herumprobiert und mich schon nach wenigen
Ausflügen nach außerhalb der Primzahlen wieder auf
selbige beschränkt.
Für \((239,241)\) hatte ich die Periode \({...}\;\overline{,2\,205,2\,835,1\,575}\)
gefunden, und für \((1\,607,1\,609)\) sogar die neungliedrige
\({...}\;\overline{,845,975,1\,235,1\,885,455,1\,235,845,1\,495,2\,015}\) .
Für das Startpärchen einen umfassend hinreichenden,
möglichst knapp formulierbaren Zusammenhang zu
finden, der die Modulo-Folge mit \(0\) abbrechen lässt,
könnte auch eine Herausforderung sein... 🤔
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