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| Autor |
  Beweis der Gleichheit von Tupeln (a,b)=(c,d) g.d.w. a=c und b=d |
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Aurel
Aktiv 
Dabei seit: 07.05.2023
Mitteilungen: 115
 |  Themenstart: 2023-11-18 11:22
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Hallo,
ich hätte eine Frage zur folgenden Aufgabe, bei der ich denke ich nicht ganz verstehe, auf welchen Beweis der Professor hinauswill:
Seien $A,B$ Mengen und $a_1,a_2 \in A \: und \: b_1,b_2 \in B$ dann ist z.z., dass gilt $(a_1,b_1)=(a_2,b_2) \Longleftrightarrow a_1=a_2 \: und \: b_1=b_2$
Jetzt vielleicht etwas naiv, aber folgt das nicht aus der Mengenschreibweise für Tupel bereits direkt (vorausgesetzt man weiß nichts über Tupel außer diese Definition)?:
$(a_1,b_1)=\{\{a_1\},\{a_1,b_1\}\} = (a_2,b_2)=\{\{a_2\},\{a_2,b_2\}\} \Longrightarrow a_1=a_2 \: und \: b_1=b_2 $
während die umgekehrte Richtung dann analog folgt.
Ich denke nicht, dass das der gesuchte Beweis ist, aber ich bin etwas verwirrt, da mir das über die Definitionen beweisbar scheint, aber meiner wohl zu kurz ist(der Beweis ist bei uns sogar mit einem Stern für seine Schwierigkeit gekennzeichnet)?
Ich würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet zu verstehen, was ich aktuell noch nicht verstehe.
LG
Ich würde mich freuen
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3777
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-11-18 11:32
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Hallo,
so leicht ist das nicht. Beachte z.B., dass $\{\{a\}, \{a,b\}\} = \{\{a,b\}, \{a\}\}$.
Wie kannst Du also z.B. ausschließen, dassWie gehst Du vor, wenn $\{a_1\} = \{a_2,b_2\}$ und $\{a_1,b_1\} = \{a_2\}$ gilt?
Du solltest hier mit der Definition von Mengengleichheit arbeiten.\(\endgroup\)
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Aurel
Aktiv
Dabei seit: 07.05.2023
Mitteilungen: 115
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-11-18 15:38
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Hallo,
kurze Rückfrage noch: ich habe noch nicht ganz verstanden warum $\{a_1\} = \{a_2,b_2\}$ und $\{a_1,b_1\} = \{a_2\}$ problematisch wäre. Ich kann dann $(a_1 , b_1)=(b_1,a_1)$ schreiben, aber es gilt ja auch $a_1=a_2=b_1=b_2$ womit das dann ok wäre? Könntest du mir das vielleicht noch mal näher erklären?
Also so ganz kapiert hab ich es denke noch nicht, aber vielleicht:
$(a_1,b_1)={{a_1},{a_1,b_1}}={{a_2},{a_2,b_2}}=(a_2,b_2) $ kann über die Definition der Mengengleichheit dann nur erfüllt sein, wenn entweder $a_1=a_2 \: und \: b_1=b_2 \:oder \: a_1=b_2 \: und \: a_2=b_1 \: und \: a_1=a_2 $ gilt, wobei der zweite Fall eigentlich nur der erste ist, mit einer zusätzlichen Bedingung $a_1=a_2$ die ja aber vereinbar mit dem ersten Fall ist.
Wäre dass dann - wenn man das ordentlich formal ausformulieren würde - eher die richtige Richtung, oder noch zu ähnlich zu meinem ersten Beitrag?
LG
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3777
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-11-18 15:50
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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Ja, wenn das eintritt, dann wäre $a_1=a_2=b_1=b_2$ (was aber auch noch genauer zu begründen wäre) und somit insbesondere $a_1=a_2$ und $b_1=b_2$.
Ich hätte nicht sagen sollen, dass Du diese Möglichkeit "ausschließen" musst, sondern nur, dass das ein Fall ist, den Du betrachten musst.
Am besten gehst Du bei dem Beweis ganz formal vor. Per Definition (dem Extensionalitätsaxiom), sind zwei Mengen $X,Y$ genau dann gleich, wenn für alle $z$ gilt, dass $z\in X$ genau dann erfüllt ist, wenn $z\in Y$.
Die andere Definition, die Du für den Beweis brauchen wirst, ist, dass $z\in \{p,q\}$ genau dann gilt, wenn $z=p$ oder $z=q$ gilt.
Im Beweis wirst Du um eine (oder sogar mehrere) Fallunterscheidung(en) nicht herumkommen.\(\endgroup\)
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Aurel
Aktiv
Dabei seit: 07.05.2023
Mitteilungen: 115
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-11-18 21:48
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Hallo,
ich schreibe mal meinen Beweisversuch auf. Das ganze ist evtl. etwas episch dargelegt und das ganze hat auch keine Eile, also falls du erst die nächsten Tage Muse findest, ist das kein Thema.
Ich schreibe auch einfach nur die Implikation "$\Rightarrow$" auf, da die glaube ich schon reicht, um zu sehen, ob ich die Sache verstanden habe, oder nicht. Für "$\Leftarrow$" würde ich fast sogar frech behaupten, dass die Aussage klar ist(?).
$
\text{Die Gleichheit } (a_1,b_1)=\{\{a_1\},\{a_1,b_1\}\}=\{\{a_2\},\{a_2,b_2\}\}=(a_2,b_2) \text{ gilt, wenn } \forall x \in \{\{a_1\},\{a_1,b_1\}\} \Leftrightarrow x \in \{\{a_2\},\{a_2,b_2\}\} \text{ und daraus soll dann folgen, dass } a_1=a_2 \text{ und } b_1=b_2 \text{ gilt.}
$
$\text{Vorbereitung für die Implikation:}$
$
\text{Nach Voraussetzung gilt } \forall x \in \{\{a_1\},\{a_1,b_1\}\} \Leftrightarrow x \in \{\{a_2\},\{a_2,b_2\}\}.
$
$\text{Damit muss } x=\{a_1\} \text{ oder aber } x=\{a_1,b_1\} \text{ sein.}$
$\text{Element I:} \: x=\{a_1\} $
$
x=\{a_1\} \in \{\{a_1\},\{a_1,b_1\}\}=\{\{a_2\},\{a_2,b_2\}\} \Leftrightarrow \{\{a_2\},\{a_2,b_2\}\} \text{ und damit entweder } x=\{a_1\}=\{a_2\} \text{ oder aber } x=\{a_1\}=\{a_2,b_2\}.
$
$\text{Jetzt betrachten wir das zweite Element und kombinieren dann die Möglichkeiten.}$
$\text{Element II:} \: x=\{a_1,b_1\} $
$
x=\{a_1,b_1\} \in \{\{a_1\},\{a_1,b_1\}\} \Leftrightarrow x \in \{\{a_2\},\{a_2,b_2\}\} \text{ Also entweder gilt damit dann } x=\{a_1,b_1\}=\{a_2\} \text{ oder } x=\{a_1,b_1\}=\{a_2,b_2\} \text{ was wiederum bedeutet, dass entweder } a_1=a_2 \text{ und } b_1=b_2 \text{ oder aber } a_1=b_2 \text{ und } a_2=b_1 \text{ gilt.}
$
$\text{Kombination 1:}$
$
x_1=\{a_1\}=\{a_2\} \text{ und } x_2=\{a_1,b_1\}=\{a_2\}
$
$\text{Dann gilt wegen } \{a_1\}=\{a_2\} \text{ dass } a_1=a_2 \text{ und außerdem wegen } \{a_1,b_1\}=\{a_2\} \text{ dass } a_1=a_2=b_1 \text{ und weil jetzt außerdem nach Voraussetzung gilt, dass } \{\{a_2\},\{a_1,b_1\}\}=\{\{a_2\},\{a_2,b_2\}\} \text{ folgt zusammen mit den anderen Gleichheiten, dass } \{\{a_2\},\{a_1,b_1\}\}=\{\{a_2\},\{a_2\}\}=\{\{a_2\}\}=\{\{a_2\},\{a_2,b_2\}\} \text{ womit } a_2=b_2 \text{ folgt. Insgesamt folgt } a_1=a_2=b_1=b_2 \text{ und damit } a_1=a_2 \text{ und } b_1=b_2 \text{ wie behauptet.}$
$\text{Kombination 2:}$
$
x_1=\{a_1\}=\{a_2,b_2\} \text{ und } x_2=\{a_1,b_1\}=\{a_2\}
$
$\text{Dann gilt einerseits wegen } x_1 \text{ dass } a_1=a_2=b_1 \text{ und andererseits wegen } x_2 \text{ dass } a_1=b_1=a_2. \text{Insgesamt folgt dann wieder } a_1=a_2=b_1=b_2 \text{ und damit } a_1=a_2 \text{ und } b_1=b_2 \text{ was zu zeigen war.}$
$\text{Kombination 3:}$
$
x_1=\{a_1\}=\{a_2\} \text{ und } x_2=\{a_1,b_1\}=\{a_2,b_2\} \text{ womit einerseits } a_1=a_2 \text{ und andererseits entweder } a_1=a_2 \text{ und } b_1=b_2 \text{ (womit wir fertig wären) oder aber } a_1=b_2 \text{ und } a_2=b_1 \text{ gilt. In letzterem Fall gilt dann aber wieder } a_1=a_2=b_1=b_2 \text{ und wir sind fertig.}
$
$\text{Kombination 4:}$
$
x_1=\{a_1\}=\{a_2,b_2\} \text{ und } x_2=\{a_1,b_1\}=\{a_2,b_2\} \text{ und damit folgt einerseits } a_1=a_2=b_2 \text{ aus } x_1 \text{ und andererseits entweder } a_1=a_2 \text{ und } b_1=b_2 \text{ aus } x_2 \text{ (womit wir fertig wären) oder aber } a_1=b_2 \text{ und } b_1=a_2, \text{ womit dann aber wieder gilt, dass } a_1=a_2=b_1=b_2 \text{ wie behauptet. q.e.d.}
$
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Pippen
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Dabei seit: 06.07.2021
Mitteilungen: 244
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-11-19 01:04
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\quoteon(2023-11-18 11:22 - Aurel im Angenommen es sei $(a_1,b_1)=(a_2,b_2)$, d.h. {{a1}, {a1, b1}} = {{a2}, {a2, b2}}. Damit beide Mengen gleich sind, muss {a1} = {a2} gleich sein, also a1 = a2, womit b1 = b2 sein muss, um die Annahme aufrecht zu erhalten.
<- Angenommen $a_1=a_2 \: und \: b_1=b_2$. Blabla.
Kann man nicht einfach so vorgehen?
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2957
 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-11-19 01:14
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
@Pippen: Aus $\{a,b\} = \{c,d\}$ folgt erstmal nur (bzw.: ist sogar äquivalent) $(a=c \land b=d) \lor (a=d \land b=c)$.\(\endgroup\)
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Pippen
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Dabei seit: 06.07.2021
Mitteilungen: 244
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-11-19 15:49
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\quoteon(2023-11-19 01:14 - tactac in Beitrag No. 6)
@Pippen: Aus $\{a,b\} = \{c,d\}$ folgt erstmal nur (bzw.: ist sogar äquivalent) $(a=c \land b=d) \lor (a=d \land b=c)$.
\quoteoff
Aber darum geht es hier nicht (oder ich verstehe mal wieder nicht so recht, worum es geht).
Es geht um (a1,b1) = (a2,b2), d.h. {{a1},{a1,b1}} = {{a2}, {a2,b2}}.
Damit diese beiden Mengen gleich sind, muss jedenfalls {a1} = {a2} und damit a1 = a2 sein und weil a1 = a2, so muss auch b1 = b2, damit auch die Zweier-Mengen gleich sind.
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nzimme10
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Mitteilungen: 2784
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.8, eingetragen 2023-11-19 17:23
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
@Pippen: Eine Menge wie $\lbrace \lbrace a\rbrace, \lbrace a,b\rbrace\rbrace$ ist sehr wohl eine Menge der Form $\lbrace x,y\rbrace$. Eben zum Beispiel für $x=\lbrace a\rbrace$ und $y=\lbrace a,b\rbrace$ (oder umgekehrt).
LG Nico\(\endgroup\)
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Pippen
Aktiv
Dabei seit: 06.07.2021
Mitteilungen: 244
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-11-20 00:41
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Aha, ja, aber wo stimmt denn dann meine Überlegung nicht? Ich hoffe, man kann mein Argument nachvollziehen.
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nzimme10
Senior
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Wohnort: Köln
| Beitrag No.10, eingetragen 2023-11-20 01:30
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Naja, du überspringst halt einfach einige Schritte. tactac's Anmerkung bezieht sich genau darauf. Man kann aus der Gleichheit erstmal nur folgern, dass einer von zwei Fällen gelten muss.
Sprich: Aus $\lbrace \lbrace a_1\rbrace,\lbrace a_1,b_1\rbrace\rbrace=\lbrace \lbrace a_2\rbrace,\lbrace a_2,b_2\rbrace\rbrace$ folgt (bzw. ist äquivalent zu)
Fall 1: $\lbrace a_1\rbrace=\lbrace a_2\rbrace$ und $\lbrace a_1,b_1\rbrace=\lbrace a_2,b_2\rbrace$
oder
Fall 2: $\lbrace a_1\rbrace=\lbrace a_2,b_2\rbrace$ und $\lbrace a_1,b_1\rbrace=\lbrace a_2\rbrace$
Im Fall 1 ist die Gleichheit der Singletons äquivalent dazu, dass $a_1=a_2$ gilt. Die zweite Gleichung wird damit zu $\lbrace a_1,b_1\rbrace=\lbrace a_1,b_2\rbrace$ und ist äquivalent dazu, dass $b_1=b_2$ gilt. Den zweiten Fall muss man nun ebenfalls noch abhandeln.
LG Nico\(\endgroup\)
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Pippen
Aktiv
Dabei seit: 06.07.2021
Mitteilungen: 244
| Beitrag No.11, eingetragen 2023-11-21 01:57
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Ok, Fall 2 würde ich dann so angehen: Eine Menge mit einem Element kann nur dann gleich einer Menge mit zwei Elementen sein, wenn die Zweiermenge zwei gleiche Elemente hat, die noch dazu gleich dem Element der Einermenge sind, daher also hier a1 = a2 = b2 und a2 = a1 = b1, also a1 = a2 und b1 = b2, wie in Fall 1 und damit das Bikonditional bewiesen. Ob das als Beweis durchginge oder zu salopp/oberflächlich? Vielleicht kann der Themenersteller später mal die Lösung reinstellen, damit man sieht, wie (formal) sowas aussehen soll.
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2957
| Beitrag No.12, eingetragen 2023-11-21 02:17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
Das Formalitätsniveau müsste sich ungefähr hier bewegen (beispielhaft):
Aus $\{a,b\}=\{c,d\}$ folgt (u.a.) $a\in \{c,d\}$, was $a=c \lor a=d$ bedeutet.
Fall 1) $a=c$. Dann geht's so weiter: [blabla].
Fall 2) $a=d$. Dann geht's so weiter: [blabla].\(\endgroup\)
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Aurel hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Aurel hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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2023-11-29 01:19 ?
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