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| Autor |
 Matheolympiade Geometrieaufgabe |
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Leo123
Aktiv 
Dabei seit: 13.07.2022
Mitteilungen: 26
 |  Themenstart: 2023-11-19 00:02
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Hallo,
hat jemand zufällig die Musterlösung dieser Mathe-Olympiaden-Aufgabe: Regionalrunde, 10. Klasse, 2022, 4. Aufgabe (621024).
Danke und liebe Grüße
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 3254
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-11-19 00:44
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Wie kautet die Orginalaufgbae?
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cramilu
Aktiv 
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2652
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-11-19 07:58
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Im folgenden ein PDF-Link:
file:///D:/%23_Systemdateien_Windows-10/Downloads/A62102.pdf
[Mit der Link-Funktion des MP klappt es bei mir nicht.]
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Ixx
Aktiv
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 382
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-11-19 08:07
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Moin,
Die Antwort auf die im Eingangspost gestellte Frage ist „ja“, hilft aber nicht weiter, da dergleichen natürlich nicht veröffentlicht werden soll. Der MO-Verein, der diese Aufgabe mitsamt seiner Musterlösung erstellt hat, stellt diese Musterlösungen jeweils zeitweise nach dem Wettbewerb zur Ansicht im Netz zur Verfügung, vertreibt darüber hinausgehend aber auch seine Jahresbände, wo dann entsprechende Lösungen gedruckt vorliegen.
Wenn du spezifische Fragen zu einer einzelnen Aufgabe hast, kann man gern darüber sprechen. Aber von der kommentarlosen Veröffentlichung der Musterlösung würde ich hier abraten.
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Leo123
Aktiv
Dabei seit: 13.07.2022
Mitteilungen: 26
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-11-19 09:33
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Hallo Ixx,
ich weiß, dass sie nicht veröffentlicht werden dürfen. Leider habe ich vergessen, sie runterladen, als sie noch online waren. Darum hätte mich die offizielle Lösung interssiert. Ich habe sie selbst gelöst und zwei Lösungen gefunden, die allesamt recht einfach waren. Es hieß aber von offizieller Seite (MO-Bericht), die Lösungen seien komplex und dreischrittig. Deshalb meine Neugier bzw. mein Sicherstellen-Wollen, nicht etwas übersehen zu haben.
LG Leo
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Leo123
Aktiv 
Dabei seit: 13.07.2022
Mitteilungen: 26
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-11-19 10:35
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Hier meine Ideen für die Aufgabe:
Vorüberlegungen (verkürzt dargestellt):
Es lässt sich leicht zeigen, dass die Figur ABCE ein gleichschnekliges Trapez ist, wobei die Seite AB doppelt so lang ist wie die restlichen dreiSeiten. (Beweis hierfür ist einfach, spare ich mir an dieser Stelle.)
Lösungsidee 1 (verkürzte Darstellung):
Wir verlängern AE über E hinaus und DC über C hinaus. Den Schnittpunkt der beiden Halbgeraden nennen wir P. Nun gilt nach Strahlensatz CE:EB = CP:AB = 1:2. Da auch DC:AB = 1:2 gilt (sh. Vorüberlegungen), sind DC und CP gleich lang. C ist also der Mittelpunkt der Strecke DP. Da das Dreieck DLP rechtwinklig bei L ist, folgt aus dem Satz des Thales, dass CD, CL und CP Radien des Thaleskreises um C sind, woraus die Behauptung folgt.
Lösungsidee 2 (sehr verkürzte Argementation):
Wir verlängern BC über C hinaus und zeichnen die Parallele zu AE durch D ein. Den Schnittpunkt nennen wir S. Nun lässt sich leicht zeigen, dass die Dreiecke ABE und DCS ähnlich sind mit Streckungsfakto 0,5. Hieraus folgt EB:SC = 2:1 und hieraus ergibt sich CE = CS. Wir fällen nun das Lot von C auf LD und nennen den Lotfußpunkt P. Da die Winkel ELD und LDS rechtwinklig sind und CE=SC ist, lässt sich nun sehr leicht zeigen, dass CP Mittelsenkrechte im Dreieck LCD ist. Das Dreieck LCD ist also gleichschenklig mit Basis DL. Daraus folgt die Behauptung.
Würde das so passen?
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4636
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-11-19 14:43
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Lösung 1 bei dir ist doch 3schrittig, ob das einfach od schwer ist hängt vom finden des Weges ab, da hast du nichts übersehen, denke ich
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Leo123
Aktiv
Dabei seit: 13.07.2022
Mitteilungen: 26
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-11-19 17:32
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Ok, danke, die Dreischrittigkeit sehe ich aber nicht ganz.
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4636
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-11-19 19:26
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1. die vorüberlegungserkenntnis wie das Trapez ausgeformt ist
2. die Konstruktionsauswahl um p zu erstellen
3. die Argumentation per thaleskreis
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4636
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-11-20 17:06
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leo, noch etwas schöner finde ich die verlängerung des lotes nach unten und einem anderer thaleskreis dann alles auf ein geschickt vergrössertes waben-papier (analog zum kästchenpapier) gezeichnet...
schöner, da dann die gesamtkonstruktion innerhalb des trapezes auskömmlich ist und, bei passender vergrösserung, alle punkte auf ganzzahligen knoten liegen
da ich hier keine lösung posten möchte nur dieser ausschnitt für dich... (sollte sich jemand schon hieran stören, bitte melden)
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_thaleskreis.PNG
der thaleskreis geht dabei sogar noch durch etliche andere ganzzahlige knoten
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9807
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.10, eingetragen 2023-11-20 21:23
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Hallo Ixx,
du hast doch Kontakt zum MO-Verein.
Muss das sein, mit der kommerziellen Veröffentlichung und den (wahrscheinlich) nicht sehr üppigen Erlösen?
Irgendwie ist das ein - wenn auch kleiner - Stein der Marke "Bildungserfolg kostet Geld".
Viele Grüße
Wally
P.S. Reiht sich ein in die Bundesländer, die Abi-Aufgaben nicht frei verfügbar machen, sondern für Pfennige Cents an Verlage verkaufen, die damit Reibach machen.
Das regt mich übrigens weit mehr auf als die MO-Aufgaben.
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Ixx
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Mitteilungen: 382
| Beitrag No.11, eingetragen 2023-11-20 21:57
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\quoteon(2023-11-20 21:23 - Wally in Beitrag No. 10)
Muss das sein, mit der kommerziellen Veröffentlichung und den (wahrscheinlich) nicht sehr üppigen Erlösen?
Irgendwie ist das ein - wenn auch kleiner - Stein der Marke "Bildungserfolg kostet Geld".
\quoteoff
Ich glaube, das Ziel ist nicht, dass man mit den Jahresbänden viel Geld einnimmt, als vielmehr, dass man so meint, dass die Aufgaben mit Lösungen nicht frei im Netz verfügbar sind und sich damit besser als Trainingsmaterial weiter verwenden ließen.
(Meine eigene Sichtweise dazu kann man erkennen an der Mitwirkung am Projekt Steffen Polsters, Lösungen zu den Aufgaben der ersten 34 MOs zusammenzutragen…)
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4636
| Beitrag No.12, eingetragen 2023-11-21 06:26
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nachdem die heutige kompetenz sowiso eher im finden einer gleichartigen lösung im wilden netz ist, (schwer ist dabei heutzutage jeweils die gleichartigkeit zu beurteilen) als geometrie oder ähnliches zu erlernen, schiesst man also zumindest ein eigentor wenn man anfängt aufgaben mit sechsstelligen zahlen durchzunummerieren, als wenn es nur abzählbare anzahlen guter aufgaben gäbe... und musterlösungen als wenn es zu so einer aufgabe nur einen mustergültig einzigartigen lösungsweg gäbe
leo, jedenfals hat oben zwei ansätze die beide prima / gleichwertig sind, und selbst wenn die musterlösung mit einer parallele des lots durch C beginnen würde... kann ich nicht entscheiden welche eindeutig musternder wäre
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