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| Autor |
 Cauchy-Schwarz-Ungleichung |
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LaurasStern1999
Neu 
Dabei seit: 20.11.2023
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2023-11-20 15:42
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Huhu!
Es seien $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}, (b_k)_{k \in \mathbb{N}}$ zwei reelle Folgen mit $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tfrac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n a_k^2 = a \in \mathbb{R}$ und $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tfrac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n b_k^2 = 0$. Ich versuche nun zu zeigen, dass dann auch $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tfrac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k = 0$ gelten muss. (Mein ursprüngliches Problem hängt wie man vielleicht auch schon erahnen kann mit dem Grenzwert einer binomischen Formel zusammen).
Meine Idee dazu war die Cauchy-Schwarz-Ungleichung zu nutzen. Es gilt nämlich
$\begin{align*}
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \bigg| \tfrac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k\bigg| &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tfrac{1}{n} \bigg|\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k\bigg| \\
&\overset{\text{CSU}}{\leq} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tfrac{1}{n} \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2} \\
&= \sqrt{\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tfrac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} \sqrt{\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tfrac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n b_k^2} \\
&= \sqrt{a} \sqrt{0} \\
&= 0
\end{align*}$
Damit muss dann auch
$\begin{align*}
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tfrac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k = 0
\end{align*}$
gelten. Funktioniert das so?
Grüße, Laura
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 Profil
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 527
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-11-20 21:07
|
Moin Laura,
ja, das funktioniert so sehr gut, ich würde das hier
\quoteon(2023-11-20 15:42 - LaurasStern1999 im Themenstart)
$\begin{align*}
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \bigg| \tfrac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k\bigg| &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tfrac{1}{n} \bigg|\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k\bigg| \\
&\overset{\text{CSU}}{\leq} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tfrac{1}{n} \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2} \\
&= \sqrt{\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tfrac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} \sqrt{\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tfrac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n b_k^2} \\
&= \sqrt{a} \sqrt{0} \\
&= 0
\end{align*}$
Damit muss dann auch
$\begin{align*}
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tfrac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k = 0
\end{align*}$
gelten.
\quoteoff
nur leicht anders aufschreiben, nämlich zunächst ohne die Limiten, weil halt ohne weiteres Argument zunächst mal noch nicht klar ist, dass die interessierende Folge $\left(\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n a_k b_k\right)_n$ überhaupt konvergiert. Das ergibt sich eben aus deinen Überlegungen genau so wie die Tatsache, das der Grenzwert null ist gemäß
\[
0 \le \left|\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n a_k b_k\right| \stackrel{\text{(Cauchy-Schwarz-Ungleichung)}}{\le} \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n a_k^2} \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n b_k^2} \stackrel{n \to \infty}{\to} 0 \\
\stackrel{\text{(Sandwich-Theorem)}}{\implies} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n a_k b_k = 0.
\]
Das ist aber nur eine Kleinigkeit hauptsächlich formaler Natur.
LG,
semasch
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LaurasStern1999
Neu
Dabei seit: 20.11.2023
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-11-21 17:44
|
Hii semasch,
du hast natürlich vollkommen Recht. Die Art und Weise deiner Begründung ist wie ich finde deutlich schöner als die Begründung meiner. Ich habe meine Begründung dahingehend mal überarbeitet. Ich danke dir! :)
Grüße, Laura
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