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| Autor |
  Zeigen, dass Z[√2] ein euklidischer Ring ist. |
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Trenbolon2212
Aktiv 
Dabei seit: 25.06.2023
Mitteilungen: 84
 |  Themenstart: 2023-11-20 20:42
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Die folgenden Teilmengen sind
$$
\mathbb{Z}[\sqrt{2}]:=\{a+b \sqrt{2} \in \mathbb{R} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}):=\{a+b \sqrt{2} \in \mathbb{R} \mid a, b \in \mathbb{Q}\} \subseteq \mathbb{R}
$$
mit den von $\mathbb{R}$ geerbten Operationen ein Integritätsbereich bzw. ein Körper.
Sei $N: \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \rightarrow \mathbb{Z}$ definiert durch $N(a+b \sqrt{2})=a^2-2 b^2$.
Betrachten Sie $\mathbb{Z}[\sqrt{2}] \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ und $N: \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \rightarrow \mathbb{Q}$.
Ich sollte hiervor das beweisen:
Betrachten Sie $\mathbb{Z}[\sqrt{2}] \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ und $N: \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \rightarrow \mathbb{Q}$ wie in Aufgabe 3 .
(a) Beweisen Sie, dass $|N(a+b \sqrt{2})|<1$, falls $|a|,|b| \leq \frac{1}{2}$. Das habe ich
(b) Folgern Sie, dass $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ ein euklidischer Ring mit Abbildung $|N|$ ist.
(c) Für $z=8+9 \sqrt{2}$ und $w=6+4 \sqrt{2}$ bestimmen Sie $u:=\operatorname{ggT}(z, w)$ und $s, t \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ mit $u=s z+t w$.
Ich komme hier leider nicht weiter. Ich habe mir 2 Elemente aus Z(wurzel2) genommen und dann allgemein den Euklidischen Algorithmus angwendet. Aber irgendwie macht das für mich keinen Sinn.
Bei der c verstehe ich nicht ob ich die mit |N| abbilden soll oder den ggT ohne |N| bestimmen soll.
Hat jemand einen Tipp?
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ochen
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| Beitrag No.1, eingetragen 2023-11-20 21:49
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Hallo,
guck mal hier: https://math.stackexchange.com/questions/150885/proving-that-mathbbz-sqrt2-is-a-euclidean-domain
Dort wird in der ersten Antwort der euklidische Algorithmus für zwei beliebige Elemente durchgeführt.
Ja, berechne mal $|N(z) |$ und $|N(w) |$.
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Trenbolon2212
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-11-20 22:31
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|N(z)|=98 und |N(w)|=4
ggt(z,w)=2, denn
98=4*24+2
4=2*2
Dann ist s und t in der Form
s=1
t=-4
Aber das muss ich jetzt wieder umformen oder? In Z(wurzel 2)
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Trenbolon2212
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-11-21 15:11
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Ich muss $8+\sqrt{2}*9=6+4*\sqrt{2}*q+r$ finden. Aber wenn ich z durch w teile bekomme ich $-6+5,5*\sqrt{2}$ was doch ein Element in dem $Q[\sqrt{2}]$ ist oder? Oder müssen die Koeffizientzen in $Z[\sqrt{2}]$ sein ? Wenn ja dann finde ich keine Koeffizienten sodass N(w)>N(q)
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ochen
Senior
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-11-21 17:49
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Du dividierst ja mit Rest. Wenn du als Quotient $a+b\sqrt 2$ mit $a, b\in\mathbb Q$ erhältst, rundest du $a, b$ auf ganze Zahlen $\tilde a, \tilde b$, denn dann ist $|a-\tilde a|\leq \frac 12$ und $|b-\tilde b|\leq \frac 12$.
Irgendwie musst du Bezug zu den vorigen Teilaufgaben herstellen.
Kleine Anmerkung: Bei dir fehlen Klammern, die wichtig sind.
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Trenbolon2212
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-11-21 18:07
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ich habe meinen Fehler gefunden. Danke :)
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