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  Kommutativität für ganzzahlige Exponenten auf Gruppe |
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LadiesMan217
Aktiv 
Dabei seit: 19.07.2023
Mitteilungen: 25
 |  Themenstart: 2023-11-20 23:12
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Hallo,
ich habe Probleme die Aufgabe (1) nachzuvollziehen
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56487_Bild_20.11.23_um_23.03.jpeg
mir ist nicht klar, warum $g^k \: und \: g^l $ auch in einer beliebigen Gruppe enthalten sein sollen, nur weil $g$ enthalten ist. Falls hier gemeint ist, dass man GEGEBEN dass $g^k \: und \: g^l $ in der Gruppe sind, die Kommutativität beweisen soll, verstehe ich nicht, wie überhaupt in diesem Kontext die Potenzierung definiert ist, da ja auf dieser beliebigen Gruppe nicht notwendigerweise eine Multiplikation als Verknüpfung operiert. Ich denke damit ist dann gemeint, dass die Verknüpfung mehrmals hintereinander ausgeführt wird auf dem Element? Also falls $*: G \times G \rightarrow G$ unsere Verknüfung ist, dann wäre $g^k = g * g * g * ... * g $ k-mal ? Und für negative Potenzen wäre es dann die Verknüpfung mit dem Inversen..?
Ich würde mich freuen, falls mir jemand helfen könnte. LG
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 Profil
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Qing
Senior 
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 367
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-11-20 23:18
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Hallo,
\quoteon
mir ist nicht klar, warum $g^k \: und \: g^l $ auch in einer beliebigen Gruppe enthalten sein sollen, nur weil $g$ enthalten ist.
\quoteoff
Das liegt daran, dass die Gruppenoperation, nennen wir sie $\cdot$, eine binäre Verknüpfung ist.
Das heißt eine Abbildung $\cdot:G\times G\to G$.
Beachte, dass diese Verknüpfung abgeschlossen ist, also wieder nach $G$ abbildet. Diese Formulierung ist ein Teil der Gruppenaxiome, und damit ein Teil von dem was es überhaupt heißt eine Gruppe zu sein.
Deshalb gilt $g^k=\underbrace{g\cdot\dotso\cdot g}_{\text{k-mal}}\in G$.
\quoteon
Also falls $*: G \times G \rightarrow G$ unsere Verknüfung ist, dann wäre $g^k = g * g * g * ... * g $ k-mal ? Und für negative Potenzen wäre es dann die Verknüpfung mit dem Inversen..?
\quoteoff
Ok, hätte vielleicht den Beitrag erst zuende lesen sollen...
Ja, du hast im Grunde genau recht.
Ich bin mal so frech und frage, was du denn sonst gedacht hast, was es bedeuten soll. :)
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Profil
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 11108
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-11-20 23:20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
die Tatsache, dass mit \(g\) auch jede Potenz \(g^k\) mit \(k\in\IZ\) in der Gruppe enthalten ist, folgt aus der Abgeschlossenheit und der Existenz des Inversen. Wenn du noch bedenkst, dass die Addition in \(\IZ\) kommutativ ist, dann sollte ein gewisses Potenzgesetz hier weiterhelfen.
(Ich verschiebe einmal in ein geeigneteres Unterforum.)
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Gruppen' von Diophant]\(\endgroup\)
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2957
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-11-20 23:22
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Die Gruppenverknüpfung wird im Normalfall notationsmäßig wie eine Multiplikation behandelt, auch wenn sie inhaltlich alles mögliche sein kann. Entsprechend steht Potenzierung für die wiederholte Anwendung der Gruppenverknüpfung; und ja, bei negativen Exponenten kommen Inverse ins Spiel.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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LadiesMan217
Aktiv
Dabei seit: 19.07.2023
Mitteilungen: 25
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-11-21 09:52
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Ok, danke.
Wie genau ist hier aber bei sowas $g^0 $ definiert?
Ich könnte mir
$g^0 = 1_G \: oder \: g^0 = g $ vorstellen.
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8445
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.5, eingetragen 2023-11-21 10:01
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\quoteon(2023-11-21 09:52 - LadiesMan217 in Beitrag No. 4)
Wie genau ist hier aber bei sowas $g^0 $ definiert?
Ich könnte mir
$g^0 = 1_G \: oder \: g^0 = g $ vorstellen.
\quoteoff
$g^0$ ist (natürlich!) gleich dem neutralen Element.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 11108
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-11-21 11:01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2023-11-21 09:52 - LadiesMan217 in Beitrag No. 4)
Ok, danke.
Wie genau ist hier aber bei sowas $g^0 $ definiert?
Ich könnte mir
$g^0 = 1_G \: oder \: g^0 = g $ vorstellen.
\quoteoff
StrgAltEntf hat die Frage ja schon erschöpfend beantwortet. 😁
Darüberhinaus: es gibt hier auf dem MP eine schon ältere, aber legendäre Artikelserie "Gruppenzwang", in der die Grundlagen der Gruppentheorie sehr gut verständlich aufgearbeitet sind. Im ersten Artikel Gruppenzwang: wir rechnen mit allem kannst du alles rund um die Potenzgesetze in Gruppen und verwandten Strukturen samt Beweis nachlesen (im letzten Abschnitt "Potenzen").
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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helmetzer
Senior
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1618
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-11-21 13:47
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Die hier beschriebene "Kommutativität" fußt auf dem Assoziativgesetz und gilt in jeder Gruppe. Sogar in jeder Halbgruppe, wenn man sich auf positive Exponenten beschränkt.
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Profil
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LadiesMan217 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LadiesMan217 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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