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Universität/Hochschule J Kompakt aber nicht folgenkompakt
Niels Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Mitglied seit: 04.08.2003, Mitteilungen: 745
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Themenstart: 2005-02-07

Hallo,

kurze Frage:

Wie müsste ein kompakter Raum aussehen, der nicht
folgenkompakt ist- und umgekehrt???

Ich weis nur das es sich um keine metrischen
Räume handeln darf- dort fallen ja bekanntlich die
Begriffe zusammen.
Allerdings brauchen wir schon eine gewisse Strucktur.
Ein Topologiescher Raum ist zu wenig, weil wir ja Folgen definieren müssen...

hat jemand ein Beispiel?

Gruß N.



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Hasan Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Mitglied seit: 02.02.2003, Mitteilungen: 458, aus: Darmstadt
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Beitrag No.1, eingetragen 2005-02-07

Hi!

Frage: Wie habt ihr folgenkompakt definiert? Mit "konvergierenden Teilfolge" oder mit "Häufungspunkt einer Folge". In besonders hässlichen top. Räumen ist das nämlich nicht das gleiche...



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Niels Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-07

Folgenkompakt ist bei mir besitzt
eine konvergente Teilfolge.

Kann mir vorstellen das das irgendetwas perverses
sein muss, aber ein Gegenbeispiel parat zu haben
ist immer gut....



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Hasan Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Beitrag No.3, eingetragen 2005-02-07

Hmm, tja, bin zZ auch ein wenig ratlos..



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Hasan Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Mitglied seit: 02.02.2003, Mitteilungen: 458, aus: Darmstadt
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Beitrag No.4, eingetragen 2005-02-07

Alsoooo: Schau  mal www.uni-duisburg.de/FB11/LEHRE/W04/TOPOLOGIE/t07.pdf bei Aufgabe 26 nach ;)

[ Nachricht wurde editiert von Hasan am 07.02.2005 20:42:17 ]



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Buri Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 02.08.2003, Mitteilungen: 46239, aus: Dresden
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Beitrag No.5, eingetragen 2005-02-07

Hi Niels,
die "besonders häßlichen" Räume, die Hasan meint, sind vermutlich nicht Hausdorffsch. Einigen wir uns mal darauf, Hausdorffsche topologische Räume zu betrachten.

Ich verstehe deinen Satz nicht:
>>> Ein Topologiescher Raum ist zu wenig,
>>> weil wir ja Folgen definieren müssen...
Auch, und gerade in einem topologischen Raum, gibt es doch Folgen.

Also, in Hausdorffschen topologischen Räumen gilt:

M ist folgenkompakt ==> M ist abzählbar kompakt.
M ist kompakt ==> M ist abzählbar kompakt.
Vielleicht gilt eines, oder beides, sogar in nicht-Hausdorffschen Räumen. Hab keine Lust, mir das zu überlegen.

Beachte aber: in nicht-Hausdorffschen Räumen sind z. B. kompakte Mengen nicht notwendigerweise abgeschlossen und verschiedene andere Sachen versagen auch.

Die linksstehenden Begriffe sind unvergleichbar, und abzählbare Kompaktheit bedeutet, daß man aus jeder abzählbaren Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung auswählen kann.

Beispiele für folgenkompakte, aber nicht kompakte Mengen (und umgekehrt) sind nicht so leicht zu konstruieren, man muß immer irgendwie etwas "Überabzählbares" ins Spiel bringen.

Schau mal in das Buch von Gottfried Köthe, Topologische lineare Räume (ich habe es im Moment nicht hier), dort müßtest du alle nötigen Gegenbeispiele finden.
Gruß Buri



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Hasan Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Mitglied seit: 02.02.2003, Mitteilungen: 458, aus: Darmstadt
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Beitrag No.6, eingetragen 2005-02-07

@Buri: Wenn wir schon dabei sind

1) Kannst du mir ein Beispiel eines Hausdorff-Raumes nennen, der NICHT metrisierbar ist?

2) Kannst du mir ein Beispiel eines Hausdorff-Raumes nennen, in dem NICHT jede Folge mit einem Häufungspunkt ("Also: In jeder Umbegung von x befinden unendlich viele Glieder der Folge." ) eine konvergente Teilfolge besitzt?

3) Kannst du mir ein Beispiel eines Nicht-Hausdorff-Raumes nennen, in dem NICHT jede Folge mit einem Häufungspunkt ("Also: In jeder Umbegung von x befinden unendlich viele Glieder der Folge." ) eine konvergente Teilfolge besitzt?

Danke

[ Nachricht wurde editiert von Hasan am 07.02.2005 20:46:23 ]



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Niels Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Mitglied seit: 04.08.2003, Mitteilungen: 745
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-07

Hi Buri,

nun ja, ich kenne mich in topologischen Räumen nicht
so aus, für mich besteht eine Topologischer Raum nur
aus offenen oder abgeschlossenen Mengen (von einer Metrik
erzeugte Topologie) und da ich Folgen nicht über offene
oder abgeschlossene Mengen definieren kann dachte ich es gäbe
dort keine Folgen....

Aber die Räume sind ja hammer pervers...

naja, sowas muss es halt auch geben....




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cow_gone_mad Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Mitglied seit: 11.01.2004, Mitteilungen: 6651
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Beitrag No.8, eingetragen 2005-02-07

Hallo Hasan,

solltest du nicht noch fordern, dass deine Folgen beschränkt sind?

Würde sonst nicht zum Beispiel die Folge a_n = n in IR mit der normalen Topologie die Forderung von 2 erfüllen?

Liebe Grüsse,
cow_



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Wally Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.9, eingetragen 2005-02-07

Hallo, Hasan,

deine Frage 1 kann ich beantworten: der Raum der Funktionen auf einem Intervall mit der punktweisen Konvergenz.

Ich vermute (in die Luft geschossen), dass du hier auch ein Beispiel zu Farge 2 findest.

Zu Frage 3 befolge ich den Tip in deiner Signatur.

Wally



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Hasan Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Beitrag No.10, eingetragen 2005-02-07

@Wally:
"deine Frage 1 kann ich beantworten: der Raum der Funktionen auf einem Intervall mit der punktweisen Konvergenz."
Wo ist denn die Topologie auf dieser Menge? ?(

@cow_gone_mad;
"solltest du nicht noch fordern, dass deine Folgen beschränkt sind? "
Ich meine es so, wie ich es geschrieben habe. Deine Folge hat ja keinen Häufungspunkt. Und auf metrischen Räumen ist das ja äquivalent zu "konvergente TF besitzen"



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Buri Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.11, eingetragen 2005-02-07

Hi Hasan,
zu 1)
na klar!
Wären alle Hausdorff-Räume metrisierbar, nun ja, dann wären auch alle Funktionen linear usw.
Ich meine damit, die Theorie wäre dann drastisch einfacher, als sie es wirklich ist.

Es erinnert mich an den Spruch:
"God, make the world linear, stationary and Gaussian".

Aber im Ernst, natürlich gibt es genügend solche Beispiele.
Die schwache Topologie auf dem Hilbertschen Folgenraum l2 ist nicht metrisierbar.

zu 2)
solche Beispiele gibt es, sie sind ziemlich kompliziert.
Ein topologischer Raum, in dem diese Aussage nicht stimmt, ist die Menge aller Zahlenpaare (m,n) nichtnegativer ganzer Zahlen.
Alle einpunktigen Mengen {(m,n)} mit (m,n) ungleich (0,0) sind offen. Die Umgebungen von (0,0) sind aber so definiert:
U ist genau dann eine Umgebung von (0,0), wenn für alle m, mit Ausnahme endlich vieler, die Menge der n, für die (m,n) nicht Element von U ist, endlich ist.

Dieser Raum ist übrigens Lindelöfsch, d. h. man kann aus jeder offenen Überdeckung des Raumes eine abzählbare auswählen.
zu 3)
ja, ich denke schon.
Das einzige, was du im Unterschied zu 2) verlangst, ist, daß der Raum nicht Hausdorffsch sein soll, wenn ich nichts übersehe, kriegt man das problemlos hin, man muß den Raum nur "verdoppeln", also jeder Punkt ist dann "zweimal" vorhanden, als grüner und roter Punkt sozusagen, wobei alle offenen Mengen mit jedem grünen auch den zugehörigen roten Punkt enthalten müssen, daher ==> nicht Hausdorffsch.
Wahrscheinlich reicht es sogar, dem Raum einen einzigen "doppelten" Punkt hinzuzufügen, um ihn nicht-Hausdorffsch zu machen, fast scheint mir, das ist "gegen die Regeln" und "unfair", aber du hast ja so gefragt.
Gruß Buri



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Hasan Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Beitrag No.12, eingetragen 2005-02-07

Danke! Ich schau mir das mit dem l2-Raum mal genauer an!



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cow_gone_mad Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Mitglied seit: 11.01.2004, Mitteilungen: 6651
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Beitrag No.13, eingetragen 2005-02-08

Hallo Hasan,

da habe ich wohl mal wieder mega ungenau gelesen.

Wally meinte vermutlich folgendes:
fed-Code einblenden

Liebe Grüsse,
cow_



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