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Analysis » Funktionen » Rechentrick bei der PBZ (zum Artikel Rechenverfahren)
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Kein bestimmter Bereich J Rechentrick bei der PBZ (zum Artikel Rechenverfahren)
morki
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  Themenstart: 2005-02-11

Hallo. Ich habe mit Interesse den Artikel gelesen - auch in Anbetracht der kommenden Analysis-Klausur. Die Partialbruchzerlegung und Rückwärtssubstitution könnten hilfreich werden. Nur habe ich das Problem, dass ich nicht den Algorithmus für ersteres verstehe :/ Ich habe auch keinen Weg gefunden dort direkt einen Kommentar anzubringen oder continuous direkt zu befragen. Jedenfalls steht dort folgendes: \ Nun das Wesentliche: wir können sehr viele a_ij direkt berechen! Es gilt: a_it_i = p(\b_i)/g(\b_i) mit q(x)=g(x)(x-\b_i)^t_i und g(\b_i)!=0 Und was heisst das jetzt im Klartext (runtergebrochen)? Mich verwirren die ganzen Indexe - und was soll das "t"? bedeuten? Dass beta für die Nullstelle steht, habe ich mittlerweile herausgelesen.

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SchuBi
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  Beitrag No.1, eingetragen 2005-02-11

Hallo, morki! Hast du dir continuous Beispiel angeschaut Das ist doch leicht verständlich. f(x)=(x+7)/((x+1)(x+2)(x+3))=a_1\|1/(x+1)+a_2\|1/(x+2)+a_3\|1/(x+3) Hier ist der Zähler p(x)=x+7 und der Nenner q(x)=(x+1)(x+2)(x+3) In Christians Notation \blue a_i\|t_i = p(\b_i)/g(\b_i) mit q(x)=g(x)(x-\b_i)^t_i und g(\b_i)!=0 steht i für den i\-ten Linearfaktor, b_i für die i\-te Nennernullstelle und t_i für den Exponenten des Nenners Hier haben wir 3 Linearfaktoren. Jeder ist einfache__ Nennernullstelle, deshalb ist t_i=1. Jetzt können wir die Koeffizienten berechnen array(a_1\|1 : Der Linearfaktor ist x+1, d.h. die Nennernullstelle ist -1) Hier ist q(x)=(x+1)*\blue (x+2)(x+3) also wird g(x)=(x+2)(x+3) und es gilt g(-1)=1*2=2<>0. Dann ist also a_1\|1=p(-1)/g(-1)=6/2=3 array(a_2\|1 : Der Linearfaktor ist x+2, d.h. die Nennernullstelle ist -2)__ Hier ist q(x)=(x+2)*\blue (x+1)(x+3) also wird g(x)=(x+1)(x+3) und es gilt g(-2)=-1*1=-1<>0. Dann ist also a_2\|1=p(-2)/g(-2)=5/(-1)=-5 array(a_3\|1 : Der Linearfaktor ist x+3, d.h. die Nennernullstelle ist -3)__ Das solltest du selbst nachvollziehen können \blue Die Grenzen des Verfahrens liegen bei mehrfachen Nennernullstellen Beispiel: f(x)=(2x^3-3x^2+3x-1)/(x^3*(x-1)) Hier liegt eine dreifache Nennernullstelle bei 0 vor Nach Christians Notation  suchen wir folgende PBZ f(x)= a_1\|1/x+ a_1\|2/x^2+ a_1\|3/x^3+ a_2\|1/(x-1) Der Zähler ist p(x)=2x^3-3x^2+3x-1 der Nenner q(x)=x^3*(x-1) array(a_1\|1 : Der Linearfaktor ist x, d.h. die Nennernullstelle ist 0)__ Dann ist q(x)=x*\blue x^2*(x-1) also wird g(x)=x^2*(x+1) und es gilt g(-2)=0*1=0. ALso können wir die Regel nicht anwenden und müssen a_1\|1 auf konventionellem Weg bestimmen \blue Allerdings können wir mit seinem Verfahren a_1\|3 und a_2\|1 bestimmen Teste es aus (a_1\|3=1 und a_2\|1=1) [ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 11.02.2005 13:43:30 ]

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morki
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-12

OK Meister, vielen Dank! Am Anfang klang deine Antwort zwar etwas rüde, weil ich mir natürlich das gegebene Beispiel angeschaut habe - aber nicht verstanden. Deshalb auch meine Frage. Ein halb verstandenes Verfahren ist wertlos. \ a_1|3 = 1 wegen Nullstelle bei 0 und (0-0+0-1)/(0-1)=1 und a_2|3 = 1 wegen (2-3+4-1)/(1^3) = 1 mfg morki

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SchuBi
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  Beitrag No.3, eingetragen 2005-02-12

Hallo, morki! Das sollte nicht anmaßend klingen. Ich hatte es jedenfalls sofort verstanden Ansonsten hätte ich auch keine Erklärung geschrieben. Wenn dir jetzt alles klar ist, dann hat das Ganze ja seinen Zweck erfüllt.

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morki hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
morki hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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