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Analysis » Stetigkeit » Lipschitz-Stetigkeit
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Universität/Hochschule J Lipschitz-Stetigkeit
morpheus
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  Themenstart: 2002-11-26

Wer kann mir anhand dieses Beispiels die Begriffe Lippschitz stetig und gleichmässig stetig erklären. Eine auf einer Teilmenge D Ì R definierte Funktion f:D -> R heißt Lippschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L Î R+ falls |f(x) - f(x`)| £ L |x-x`| Î D a) Man zeige : Jede Lippschitz-stetige Funktion f:D ->R ist gleichmäßig stetig b)Die Funktion f:[0,1] -> R, x|-> Öx ist gleichmässig stetig, aber nicht Lippschitz stetig Vielen Dank und Gruß


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N-man
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  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-27

Hallo. Glm. Stetigkeit, dass für alle e>0 ein d>0 ex., so dass |f(x)-f(y)|<e für alle x,yÎD mit |x-y|<d. a) Sei f jetzt Lipschitz-stetig, z.z. ist, dass f auch glm. stetig ist. D.h. Es existiert ein L>0 mit |f(x)-f(y)|£L*|x-y| für alle x,yÎD. Sei e>0 beliebig, dann existiert ein d>0 mit L*|x-y|<e für x,y mit |x-y|<d. Für |x-y|<d folgt dann, dass |f(x)-f(y)| £ L*|x-y| <e und das ist die Behauptung. b) Der "kritische Punkt" dürfte bei x=0 sein. Wenn f Lip.steig wäre, würde ein L ex. mit |Öy-Ö0| £ L*|y| Öy £ L*y => 1 £ L*Öy Da y aber beliebig gegen 0 gehen kann, kann es kein festes L geben... Gruß Manuel


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morpheus
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-27

@N-man Danke für deine Hilfe! Aber woran erkenne ich b) das sie gleichmäßig stetig ist? Gruß


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N-man
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  Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-27

Hallo. Ihr solltet in der Vorlesung mal bewiesen haben, dass eine stetige Funktion über einem kompakten Intervall gleichmäßig stetig ist. Da die Wurzelfunktion stetig ist, folgt daraus die Behauptung. Gruß Manuel


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