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| Autor |
  Beweis: Potenz kongruent zu ihrer Basis modulo 561 |
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InWi
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 24.10.2002
Mitteilungen: 608
Wohnort: In de Näh vun Mannem
 |  Themenstart: 2002-12-02
|
Hi !!!
ich muß euch leider schon wieder mit einer (für euch wahrscheinlich trivialen) Aufgabe behelligen - aber ich bin selbst für diese Aufgabe zu doof.
Also hier erstmal die Aufgabe:
Man zeige, dass für alle b Î Z (geimeint sind hier die ganzen Zahlen) gilt:
b561 konkruent zu b mod 561
Bemerkung 561 ist keine Primzahl sondern 3*11*17
ich habe folgenden Hinweis bekommen:
b561 ist konkruent zu b(mod 561)
also folgt:
b561 ist konkruent zu b(mod 3)
b561 ist konkruent zu b(mod 11)
b561 ist konkruent zu b(mod 17)
X konkruent b(mod 3)
X = 3k+b
X konkruent b(mod 11)
3k+b konkruent b(mod 11)
3k konkruent 0(mod 11)
k konkruent 0(mod 11)
k = 11*l
X konkruent b(mod 17)
3*11*l+b konkrunet b (mod 17)
11-1 * 3-1 * 3 * 11 * l konkruent 11-1 * 3-1 * 0 (mod 17)
==> l konkruent 0(mod 17) ==> l = 17 m
3 * 11 * l + b => 3*11*17m+b = 561m + b
=> Satz: X konkruent a(mod m)
X konkruent a(mod n)
X konkruent a(mod m*n)
so ganz verstanden habe ich diesen Beweis zwar nicht - aber meine Frage lautet inwiefern mich das überhaupt weiterbringt - jetzt weiß ich zwar, dass ich mod 561 in mod 3*11*17 zerlegen kann aber das bringt mich doch auch nicht viel weiter - oder?
wäre wirklich nett wenn mir jemand helfen könnte
mfg florian
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 Profil
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Martin
Senior 
Dabei seit: 28.10.2002
Mitteilungen: 806
Wohnort: Österreich
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-12-03
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Hi InWi!
> b561 konkruent zu b mod 561
>
> Bemerkung 561 ist keine Primzahl sondern 3*11*17
Zuerstmal wird diese Bemerkung wahrscheinlich hier stehen,
damit man's nicht mit Fermats kleinen Satz zeigt.
> ich habe folgenden Hinweis bekommen:
Wenn ich Nachfolgendes richtig verstehe ist dieser "Hinweis" schon der Beweis.
> b561 ist konkruent zu b(mod 561)
> also folgt:
> b561 ist konkruent zu b(mod 3)
> b561 ist konkruent zu b(mod 11)
> b561 ist konkruent zu b(mod 17)
Das ist richtig. Sind 2 Zahlen mod m äquivalent, so auch
mod m', wenn m' ein Teiler von m ist.
> X konkruent b(mod 3)
> X = 3k+b
Soweit so gut ...
> X konkruent b(mod 11)
> 3k+b konkruent b(mod 11)
Hier wird jetzt Obiges ausgenutzt.
> 3k konkruent 0(mod 11)
> k konkruent 0(mod 11)
> k = 11*l
da k kongreunt 0 mod 11 ist ist k ein Vielfaches von 11, auch klar.
> X konkruent b(mod 17)
> 3*11*l+b konkrunet b (mod 17)
Hier ist auch wieder Obiges verwendet und 3k+b entsprechend Obigem umgeformt.
> 11-1 * 3-1 * 3 * 11 * l konkruent 11-1 * 3-1 * 0 (mod 17)
> ==> l konkruent 0(mod 17) ==> l = 17 m
Wieso da jetzt plötzlich so kompliziert? Hier greift doch auch
3*11*l+b kongruent b (mod 17)
3*11*l kongruent 0 (mod 17)
ist also ein Vielfaches von 17, also von der Form 3*11*17*m.
> 3 * 11 * l + b => 3*11*17m+b = 561m + b
Damit wär's doch schon fertig. X=561*m+b ist kongruent b mod 561.
> so ganz verstanden habe ich diesen Beweis zwar nicht - aber meine Frage lautet inwiefern mich das überhaupt weiterbringt - jetzt weiß ich zwar, dass ich mod 561 in mod 3*11*17 zerlegen kann
> aber das bringt mich doch auch nicht viel weiter - oder?
Der "Hinweis" den du bekommen hast ist doch der Beweis, dass b^561 kongruent b mod 561 ist, oder? Und dort wurde die Bemerkung ausgenutzt.
mfg
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin am 2002-12-03 09:48 ]
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InWi
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 24.10.2002
Mitteilungen: 608
Wohnort: In de Näh vun Mannem
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-03
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ich habs inzwischen rausbekommen:
klar ich habe bewiesen, dass ich mod 561 in mod 3*11*17 zerlegen kann. Am Anfang bin ich damit auch nicht weitergekommen, aber jetzt denke ich, dass ich es habe:
phi(561) = phi(3) * phi (11) * phi (17)
Teiler 3: b561 konkruent b * (b2)280 konkruent b(mod 3)
Teiler 11: b561 konkruent b * (b10)56 konkruent b(mod 11)
Teiler 17: b561 konkruent b * (b16)35 konkruent b(mod 17)
ich habe folgendes ausgenutzt:
wenn p eine primzahl => aphi(p) = 1(mod p)
ich denke/hoffe damit habe ich es gezeigt
mfg florian
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14573
Wohnort: Solingen
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2002-12-04
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Hi InWi,
das letzte von Dir ist sehr schön und richtig.
Schreibt man bei euch in der Vorlesung kongruent wirklich mit k?
Gruß
Matroid
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InWi
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Wohnort: In de Näh vun Mannem
|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-04
|
Öööööhhh nicht wirklich *gg*
hätte es wohl besser mit g geschrieben. ;-)
Aber wenn mal etwas von mir ganz und gar richtig wäre, dann hättet ihr ja garnix mehr zu tun - ich nehme da nur rücksicht auf euch ;-)
mfg florian
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