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  Finanzmathe - No-Arbitrage-Prinzip |
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Kleine_Meerjungfrau
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 |  Themenstart: 2005-04-14
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Hallo zusammen!
Ich beschäftige mich gerade mit meinem Hauptseminar, bei dem es um Finanzmathe geht. Das große Problem sind dabei diese ganzen Finanzmarktvorgänge, die einem Normalsterblichen ja gar nicht geläufig sind. Deshalb ist da auch viel mehr Text als Formeln, obwohl es schon um Mathe geht.
Bei meiner Frage geht es jetzt um einen Beweis, der dann zur Put-Call-Parität führt. Und zwar ist zu beweisen, dass nach dem No-Arbitrage-Prinzip die Werte V_0 und W_0 zweier verschiedener Kombinationen von Finanzgütern zum gegenwärtigen Zeitpunkt übereinstimmen, wenn ihre Werte V und W zu einem zukünftigen Zeitpunkt T mit Sicherheit übereinstimmen.
Es wird nun folgender Beweis geführt:
Sei V_0 > W_0 angenommen. Dann führen wir ein short selling in der ersten Kombination durch, d.h. wir leihen uns diese im gegenwärtigen Zeitpunkt aus und verkaufen sie zum Preis V_0. Die zweite Kombination wird zum Preis W_0 gekauft und die Differenz V_0-W_0 wird risikolos angelegt. Zum Zeitpunkt T wird die zweite Kombination zum Preis W verkauft und damit die erste zum Preis W=V gekauft und zurückgegeben. Es verbleibt der risikolose Profit (V_0-W_0)e^rT bei einer angenommenen Zinsrate r. Ist short selling nicht möglich, so erhalten wir so eine Arbitragestrategie für einen Besitzer der ersten Kombination.
Dieser Beweis kommt mir etwas unvollständig vor. Zum einen muss ja irgendwo ein Widerpsruch sein, den ich nicht sehe, da ja V_0 = W_0 gelten soll und selbst wenn ich aus dieser Annahme einen Widerspruch konstruieren kann, dann fehlt da doch auch noch die Annahme V_0[ Nachricht wurde editiert von fed am 14.04.2005 17:01:49 ]
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Irrlicht
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2005-04-14
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Hallo arielle,
Was ist denn "short selling"? Sind das Leerverkaeufe? Wenn ja, dann wuerde ich den letzten Satz abaendern in den in diesem Kontext meiner Meinung nach viel sinnvolleren Satz:
"Ist short selling moeglich..."
Die andere Annahme V_0 < W_0 geht dann symmetrisch zur Annahme W_0 < V_0. Da diese beiden Annahmen zum Widerspruch fuehren, bleibt nur die Moeglichkeit V_0 = W_0.
Liebe Gruesse,
Irrlicht
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Nelson
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2005-04-14
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Hallo Kleine Meerjungfrau,
Der Widerspruch, den Du suchst, ergibt sich
aus der Annahme und deiner Arbitragestrategie:
0 = V_T - W_T = (V_0 - W_0)*exp(r*T) > 0
Ciao
Nelson
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murmelbaerchen
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2005-04-14
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Hallo Meerjungfrau,
Ich kann Nelson nur zustimmen.
1. Leihe Geld bei einer Bank zum Zinssatz r (Kapitalaufnahme X)
2. Investiere das Geld im Markt (investiere X)
3. Verfolge eine sichere Strategie, d.h. lege das Geld RISIKOLOS an
mit Rendite q>r (Wertsteigerung X*exp(q*t))
4. Zahle der Bank die Zinsen (Begleichung der Schulden X*exp(r*t))
5. Streiche Gewinn ein: dX = X*exp((q-r)*t)
Daher ist die Grundannahme: es gibt KEINE Arbitrage im Markt.
Vergleichbar mit dem Energieerhaltungssatz in der Physik)
Hilft Dir meine kleine Eselsbrücke?
Viele Grüsse
freelunchbärchen
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-14
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Vielen Dank für eure Antworten.
@Irrlicht
Ja, laut Börsenlexikon ist mit "short selling" Leerverkäufe gemeint. Man leiht sich eine Aktie oder sonst ein Finanzgut aus, verkauft es und bezahlt es später zu einem vorher festgelegten Preis.
Den Satz habe nicht ich mir ausgedacht, der steht so in den Kopien, die ich für den Vortrag zu bearbeiten habe. Wir haben auch schon mal versucht, das rumzudrehen aber wir können uns so und anders nicht erklären, was der Satz genau bedeutet bzw. was er für Auswirkungen hat.
@Nelson
Wo steht denn, dass
V_T - W_T = (V_0 - W_0)*exp(r*T)
gelten muss?
@bärchen
Das, was da so passiert bei diesem beschriebenen Geschäft, ist mir schon klar, nur sehe ich keinen Widerspruch in der Tatsache, dass ich Profit daraus schlage und am Anfang ja auch von einem Arbitrage-Geschäft ausgehe. Ich sehe die Möglichkeit einer Arbitrage, weil eben V_0 > W_0 ist, ich mache das und habe einen Gewinn. Wo läuft da jetzt was schief?
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Nelson
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| Beitrag No.5, eingetragen 2005-04-14
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Hallo Keine Meerjungfrau,
das steht bestimmt irgendwo in deinem Buch oder Skript.
Bei solchen Arbitrage-Gschichterln braucht man ja
irgendeinen Ankerpunkt, durch den die Vergleichbarkeit
von sicheren Vermögenspositionen zu verschiedenen
Zeitpunkten begründet wird, und das ist eben die Gültigkeit
der Gleichung: V_T_1 = V_T_0 * exp(r*(T_1 - T_0).
Ciao
Nelson
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-14
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Hm, wie passt denn jetzt diese Formel zu der weiter oben? Genau dieselbe Formel habe ich hier nirgends, höchstens was, das man vielleicht noch als solche interpretieren könnte, das ist aber alles sehr verwirrend, weil es jedesmal andere Bezeichnungen sind. Also hier steht:
F=(S_0-I)e^rT mit I=De^(-rt_0\.)
wobei F der Erfüllungspreis zum Zeitpunkt T und I die auf t_0 abgezinste Dividende ist.
Vielleicht kannst du mir ja zwischen diesen drei Formeln, die jetzt im Raum stehen, Brücken bauen, ich bringe die nämlich nicht zusammen.
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Nelson
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| Beitrag No.7, eingetragen 2005-04-14
|
@Kleine Meerjungfrau,
Auf deine Frage an Cashbärchen : "Wo läuft da jetzt was schief?" -
Nirgends, falls eine solche Gelegenheit kommt: Geschäft machen
und Geld einsacken. A B E R: Das "Prinzip der Arbitragefreiheit"
besagt ja, daß es solche Gelegenheiten NICHT gibt, und aus diesem
Prinzip und der Wertgleichheit zum Zeitpunkt t=T sollst Du folgern,
daß dann auch Wertgleichheit zum Zeitpunkt t=0 gilt, halbformal:
Arbitragefreiheit \und V_T = W_T => V_0 = W_0.
Diese Aussage sollst Du beweisen.
Um diese Aussage überhaupt beweisen zu können,
brauchst Du aber zwingend eine Relation zwischen den
verschiedenen Zeitpunkten, die die Vergleichbarkeit von
V_T und V_0 definiert.
In diesem Fall bedeutet das:
Widerspruchsannahme: oBdA. V_0 > W_0
=> V_0 - W_0 > 0 => (V_0 - W_0)*exp(r*T) > 0.
Und hierauf wendest Du jetzt die allgemeine Formel an:
X_T_1 = X_T_0 *exp(r*(T_1 - T_0)),mit der Einsetzung T_1=T,
T_0 = 0 und V-W für X. Daraus ergibt sich dann der Widerspruch.
Zu deiner Formel F =... : Das hat mit dem hier direkt nichts zu tun.
(Erfüllungspreis?, was ist S_0?, wer erfüllt da wann was?...).
Ciao
Nelson
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-14
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Also sehe ich das richtig, dass ich bei allem, was ich da jetzt mache, grundsätzlich mal von Arbitrage-Freiheit ausgehe und wenn ich dann ein Arbitrage bekomme, ist es ein Widerspruch? Soweit ich das überschaue, wird im ganzen Vortragsstoff Arbitrage-Freiheit vorausgesetzt...
Die Formel, die ich da hingeschrieben habe, ist aus dem Abschnitt vorher, da gehts eigentlich um was anderes. Deine allgemeine Formel habe ich hier aber nicht, deshalb dachte ich, dass meine da vielleicht dieselbe ist wie deine.
Kannst du vielleicht noch etwas zu dem letzten Satz aus dem Beweis sagen? Warum gibt es eine Arbitrage-Strategie für den Besitzer von Kombination 1, wenn short selling nicht möglich ist? Wenn er das Gut länger behält, dann bekommt er ja nur seine Dividende. Verleiht er es aber, dann bekommt er die noch verzinst (wenn ich das richtig verstanden habe) und dann müsste das ja ein Vorteil für ihn sein.
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Nelson
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| Beitrag No.9, eingetragen 2005-04-15
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@Kleine Meerjungfrau
Den letzten Satz "Ist short-selling nicht möglich..." kann man
so verstehen.
Für einen BESITZER von V gilt:
Bei V_0 > W_0 wird eine normaler Verkauf von V ("long-selling")
durchgeführt und W zum Preis W_0 gekauft. Die Differenz V_0 - W_0
zum Zinssatz r angelegt. Zur Zeit t=T wird W wieder verkauft
und V gekauft, unter der Annahme V_T = W_T. Dann hat er
V_T + (V_0 - W_0)*exp(r*T) als Vermögensposition. Würde er
das nicht tun, hätte er einfach nur V_T als Vermögen.
Damit wird gezeigt, daß die Arbitragemöglichkeit nicht davon
abhängt, ob short-selling möglich ist oder nicht. Denn jedes
Vermögensgut (Aktie, Edelmetalle, Anleihe...) hat ja immer
einen BESITZER und dieser kann die Strategie so durchführen,
ohne seine Besitzposition aufgeben zu müssen: Er kauft bei
t=T zurück, hat aber zusätzlich noch den Gewinn (V_0 - W_0)*exp(r*T).
Das ist in dem von dir zitierten Beweis ein bißchen unglücklich
formuliert, weil sich das beim ersten mal so liest, als würde
einerseits ein short-selling durchgeführt, andererseits aber
angenommen, dies sei gar nicht möglich.
Ciao
Nelson
[ Nachricht wurde editiert von Nelson am 15.04.2005 09:02:48 ]
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-15
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Ok, also: ist short-selling möglich, dann verleiht der Besitzer von V dieses Gut nur und der Leiher kann verkaufen und so die Differenz von V_0 und W_0 anlegen. Der Besitzer von V bekommt dann zum Zeitpunkt T den Kaufpreis V_T und die Dividende, das Gut aber nicht.
Ist short-selling nicht möglich, dann verkauft der Besitzer von V dieses Gut zum Preis V_0 und legt die Differenz von V_0 und W_0 an. Zum Zeitpunkt T kauft er dann V zurück und besitzt das Gut dann also wieder. Sehe ich das jetzt so richtig? Lohnt sich so ein short-selling dann überhaupt für den Besitzer? Für mich sieht das gerade so aus, wie wenn der Besitzer eines Guts eigentlich keine Vorteile aus dem short-selling zieht - eher sogar das Gegenteil.
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Nelson
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| Beitrag No.11, eingetragen 2005-04-15
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Hallo Kleine Meerjungfrau,
"Lohnt sich so ein short-selling dann überhaupt für den Besitzer? "
...
Da liegt ein Mißverständnis vor: Der Besitzer eines Gutes
ist doch gar kein "Short-Seller" - er hat ja das, was er verkauft,
er muß es sich nicht leihen.
"Short-Selling" = Verkauf eines Gutes, da man NICHT besitzt,
folglich leihen muß.
"Long-Selling" = Verkauf eines Gutes, das man BESITZT.
Ciao
Nelson
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-15
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Ja das ist mir schon klar. Ich hab da was anderes verdreht: einmal kauft der Besitzer von V W, beim anderen Mal kauft es ein anderer. Nun aber trotzdem die Frage: wenn ich short-selling machen will, dann leihe ich mir irgendwoher ein Gut aus, um es zu verkaufen. Lohnt sich das Geschäft für den Besitzer sprich den Verleiher des Guts überhaupt? Also warum verleiht er seine Aktie?
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Nelson
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| Beitrag No.13, eingetragen 2005-04-15
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@ Kleine Meerjungfrau,
weil er dafür eine "Leihgebühr" bekommt, die ist
allerdings viel niedriger als der Zins.
Ciao
Nelson
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Koebes
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| Beitrag No.14, eingetragen 2005-04-15
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Hallo Meerjungfrau,
Ich kenne short-selling auch aus den Hedge-Strategien für Optionen. Dort werden Hedges häufig mit short positions konstruiert.
Gruß,
Koebes
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-15
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@Nelson
Also lieber verleihen und Leihgebühr kassieren als gar nix kassieren, wenn man die Aktie nicht normal verkaufen kann?
@Koebes
Claims und Hedges kommen im nächsten Abschnitt dran. Da muss ich erst mal noch verstehen, was das überhaupt ist aber vermutlich wird das Zeug da dann schon auch wieder auftauchen.
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Nelson
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| Beitrag No.16, eingetragen 2005-04-15
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@Kleine Meerjungfrau,
die Aktie kann er immer verkaufen und er macht die
Arbitragestrategie aus folgendem Grund:
Wenn er es nicht macht hat er bei T
genau 1 V-Aktie.
Wenn er es macht, dann hat er bei T:
1 V-Aktie U N D zusätzlich (V_0 - W_0)*e(r*T).
Ciao
Nelson
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-15
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Nein wieso? Er verleiht doch die Aktie und bekommt bei T dann das Geld für die V-Aktie. (Also mir geht es um diese short-selling-Option aus dem Beweis da.) Dann bekommt er doch zwar den Preis von T und die Dividende aber mehr nicht. Warum lässt er sich dann auf so ein Geschäft überhaupt ein?
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Nelson
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| Beitrag No.18, eingetragen 2005-04-15
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Bei der Arbitragestrategie im Fall von V_0 > W_0,
die ein Besitzer der V-Aktie anwendet, verleiht der die V-Aktie doch nicht, sondern er verkauft sie bei t=0 und kauft sie bei t=T zurück.
Wenn unterwegs bei t=D eine sichere Dividende auf V gezahlt würde, muß dies berücksichtigt werden und die Sache stellt sich so dar:
V_0 - div*exp(-r*D) = W_0 ist die Arbitrage-Bedingung
(Termine: 0 < D < T).
Falls V_0 > W_0 + div*exp(-r*D) -> Verkauf von V_0 + Kauf von W_0 => (V_0 - W_0) wird angelegt mit Zinssatz r. Bei T gehts dann so
weiter: Verkauf von W und Kauf von V -> Endvermögen:
V_T + (V_0 - W_0)*exp(r*T) > V_T + div*exp(-r*D)*exp(r*T)=V_T +div*exp(r*(T-D)).
Ciao
Nelson
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-15
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In dem Beweis steht doch: Wir führen ein short-selling durch und leihen uns die Aktie. Also verleiht der Besitzer die und hat sie nicht mehr. Und er verkauft sie nicht jetzt, sondern zum Zeitpunkt T. Welchen Nutzen hat er davon?
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Nelson
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| Beitrag No.20, eingetragen 2005-04-16
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@Kleine Meerjungfrau
Der Besitzer, der seine V-Aktie verleiht, hat, abgesehen von
der Leihgebühr, keinen Nutzen davon.
Ciao
Nelson
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-16
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Ja und warum macht ers dann?
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Nelson
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| Beitrag No.22, eingetragen 2005-04-16
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Hallo Kleine Meerjungfrau,
wenn ihm die Leihgebühr zu niedrig ist, macht er es eben
nicht.
Ciao
Nelson
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-17
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Na gut.
Hm, ich frag dich nochmal was anderes, es gehört nicht ganz direkt dazu, lohnt aber keinen eigenen Thread:
wir betrachten zwei Aktien, die durch eine Aufwärts- und eine Abwärtsbewegung definiert sind. Jetzt wollen wir ein risikofreies Portfolio x bestimmen und jetzt steht hier, dass man das Gleichungssystem
x_1\.(u_1\.S_(1,0);d_1\.S_(1,0))+x_2\.(u_2\.S_(2,0);d_2\.S_(2,0))=(1;1)
lösen muss. Wie kommt man auf diesen Ergebnisvektor? Also warum stehen da gerade 1en drin?
nächtliche Grüße
kleine Meerjungfrau
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Nelson
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| Beitrag No.24, eingetragen 2005-04-17
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Hallo Kleine Meerjungfrau,
wofür stehen die Bezeichner:
x_i, u_i, d_i, S_(i,0) ? ...
x_i ist wahrscheinlich das Gewicht von S_i im Portefeuille (?)
Ist bspw. d_1\.S_(1,0) ein Produkt?
Ciao
Nelson
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-17
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Oh hatte ich das in dem Thread noch gar nirgends stehen, sorry. Bei mehreren Fragen kommt man da leicht durcheinander, wo man was geschrieben hat. Also u bedeutet eine Aufwärtsbewegung, d eine Abwärtsbewegung. Ich verstehe das so, dass einmal der Aktienkurs steigt, das andere Mal fällt er. S_0 bezeichnet immer den Kurswert zum Zeitpunkt t_0, S_1 den Kurswert zum Zeitpunkt T. S_i,0 unterscheidet jetzt einfach die beiden Aktienwerte zum Zeitpunkt t_0. x_i ... ja ich vermute, dass es die Gewichte im Portfolio sind, stehen tut das aber nirgends so richtig.
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-04
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Das hat sich nun erledig. Vielen Dank für deine Hilfe, Nelson!
Gruß
kleine Meerjungfrau
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