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  Ein-Perioden-Modell, Arbitrage |
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Kleine_Meerjungfrau
Senior 
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 |  Themenstart: 2005-04-14
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Hallo zusammen,
und gleich noch eine Frage:
es wird folgende Annahme gemacht: Es existiert ein Portfolio x mit x^T\.S_0>0 und x^T\.S_1=1. Dabei wird x als risikofreies Portfolio und B_1=x^T\.S_0 als Diskontierungsfaktor bezeichnet.
Nun wird ein Portfolio x im Ein-Perioden-Modell als Arbitrage bezeichnet, falls gilt: x^T\.S_0<=0, x^T\.S_1>=0 und P(x^T\.S_1>x^T\.S_0)>0.
Wie muss ich mir die erste Bedingung am Beispiel vorstellen?
Weiter gilt: Ein Ein-Perioden-Modell ist arbitragefrei, falls kein Arbitrage x mit x^T\.S_0=0 existiert.
\stress\ Beweis:
Ist nämlich x Arbitrage, so erhalten wir auf folgende Weise ein Arbitrage z mit z^T\.S_0=0: Sei y ein risikofreies Portfolio. Definieren wir
z=x-y\.(x^T\.S_0)/(y^T\.S_0)
so erhalten wir das gewünschte Arbitrage.
q.e.d.
Wo kommt diese Gleichung für z her? Ist y auch Arbitrage oder muss das nicht notwendigerweise so sein?
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Kleine_Meerjungfrau
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Dabei seit: 29.10.2003
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-17
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*push*
Kann mir da keiner niemand weiterhelfen?
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Nelson
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2005-04-17
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Hallo Kleine Meerjungfrau,
auch hier solltest Du dich dazu äußern, was das überhaupt
für Größen sind:
x , x^T ist das ein Vektor und die Transponierte?
S_0 , S_1 ? , P(...) ist wahrscheinlich eine Wahrscheinlichkeit (?)
Was bedeuten die Indexe: Sind das verschiedene Zeitpunkte ?
...
Ciao
Nelson
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-17
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Hallo Nelson,
2005-04-17 12:52: Nelson schreibt:
x , x^T ist das ein Vektor und die Transponierte?
S_0 , S_1 ? , P(...) ist wahrscheinlich eine Wahrscheinlichkeit (?)
Was bedeuten die Indexe: Sind das verschiedene Zeitpunkte ?
...
Ja du vermutest alles richtig so. Wir betrachten jetzt nicht mehr die Zeitpunkte t_0 und T sondern die Zeitpunkte 0 und 1. S_0 ist dementsprechend der Wert des Portfolio zum Zeitpunkt t_0(=0) und S_1 der Wert zum Zeitpunkt T(=1).
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Nelson
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| Beitrag No.4, eingetragen 2005-04-17
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Hallo Kleine Meerjungfrau,
Diese Definitionen bzw .den Beweis kann man sich IMHO so vorstellen.
S steht für einen Vektor aus Anlagewerten z.B. S = (Aktie_1; Aktie_2;Geldanlage; Kredit)
S_i für die Werte jeweils einer Einheit,also z.B. S_0 = (20;10;1;-1)
x steht dann für eine Anzahl der Werte, die sich Portefeuille befinden, z.B. x = (100; 0;200; 1000).
x^T*S_0 ergibt dann einen Wert bei t=0 z.B. hier 1200.
Das "risikofreie Portefeuille" ist definiert durch
x^T\.S_0 > 0 \und x^T\.S_1 = 1 . Dies bedeutet, daß es einen zukünftig sicheren Wert (=1)
hat.
Die "erste Bedingung" in der Definition der Arbitrage, x^T\.S_0 <=0
bedeutet, daß ein Arbitrage-Portefeuille immer aus sich selbst
finanziert wird. D.H, man kauft z.B. die Aktie_1 indem man die Aktie_2
leerverkauft und den Verkaufserlös in Aktie_1 investiert, oder man
nimmt einen Kredit auf (zum sicheren Zinsatz r) und kauft damit Aktie_2
, oder man man verkauft leer und legt das Geld zum sicheren Zinssatz
an.... In allen Fällen ist dann x^T\.S_0 <=0.
Jetzt zu dem Beweis: y ist kein Arbitrage-Portefeuille, weil die
Aussagen "y ist ein risikofreies PF" und "y ist ein Arbitrage-PF" nach
diesen Definitionen unvereinbar sind:
a) Nach Definition des risikofreien-PF für y ist dann y^T*S_0 >0.
b) Wäre y auch ein Arbitrage-PF, müßte nach der Definition
aber auch y^T\.S_0 <=0 sein, was zusammen offensichtlich unmöglich ist.
Daß z tatsächlich ein Arbitrage-PF ist, unter der Bedingung, daß x
eines ist, sieht man, indem man die drei Definitionsbedingungen
überprüft:
1.) z^T\.S_0 = x^T\.S_0 - y^T \.S_0 *((x^T\.S_0 )/(y^T\.S_0)) = 0, also
erfüllt z die Bedinung z^T\.S_0 <=0.
2.) z^T\.S_1 = x^T\.S_1 - y^T \.S_1 *((x^T\.S_0) /(y^T\.S_0)) =
x^T\.S_1 - 1 *((x^T\.S_0) /(y^T\.S_0)) >=0, weil:
2.1) x^T\.S_1 >= 0 (x ist ein Arbitrage-PF, siehe Def.)
2.2) x^T\.S_0 <= 0 (x ist ein Arbitrage-PF siehe, Def.)
2.3) y^T\.S_0 >0 (y ist ein risikofreies PF, siehe Def.)
2.4) y^T\.S_1 = 1 (y ist ein risikofreis PF, siehe Def.)
3.) P(z^T\.S_1 > z^T\.S_0) > 0 . Das sieht man so:
P(z^T\.S_1 > z^T\.S_0) = 1- P(z^T\.S_1 = 0 = z^T\.S_0).
Dies ergibt sich sofort aus : z^T\.S_0 <=0 <= z^T\.S_1
z^T\.S_1 > z^T\.S_0 <=> x^T\.S_1 > (x^T\.S_0)/(y^T\.S_0),
Es ist P(x^T\.S_1 > (x^T\.S_0) /(y^T\.S_0)) = 1 - P(x^T\.S_1 =0 = (x^T\.S_0) /(y^T\.S_0)) =
P(x^T\.S_1=0 = x^T\.S_0) = P(x^T\.S_1 > x^T\.S_0) > 0, nach Annahme,
daß x ein Arbitrage-PF ist.
Also kann man alle drei Bedingungen herleiten. Folglich gilt:
Es gibt ein Arbitrage-PF <=> Es gibt ein Arbitrage-PF mit x^T\.S_0 = 0.
Hoffentlich einigermaßen verständlich. 
Ciao
Nelson
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-17
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Also dass z Arbitrage ist, das war mir schon klar. Ich weiß nur nicht, wie die auf die Idee kommen z gerade so zu definieren, wie es definiert ist und nicht anders. Das war eigentlich auch meine Frage zu dem ganzen Beweis. Das, was du da mit den ganzen Kriterien machst, müsste man doch nämlich auch abkürzen können:
nach Voraussetzung gilt doch für x Arbitrage x^T\.S_0=0. Das eingesetzt in die Gleichung liefert z=x und da x Arbitrage ist, ist es z auch.
Nur ist halt die große Frage, wo diese Gleichung für z herkommt. Kannst du mir das sagen?
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Nelson
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| Beitrag No.6, eingetragen 2005-04-17
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@KLeine Meerjungfrau
Es ist NICHT vorausgesetzt, daß x^T\.S_0 =0
{In diesem Fall könnte man sich ja den ganzen "Beweis" sparen;
der ganze Satz wäre dann lediglich eine Tautologie p -> p,
was sich auch sofort ergibt, indem man nachrechnet, welcher
Vektor sich für y*(x^T\.S_0)/(y^T\.S_0) im Falle von x^T\.S_0 =0
ergibt.}
, sondern:
\blue\ x^T\.S_0 <= 0 \normal\.
und <= ist nun mal nicht dasselbe wie =.
So steht's jedenfalls in deiner Definition.
Die Idee dahinter kann man aus der Definition von z ablesen:
Falls x^T\.S_0 tatsächlich < 0 wäre, kann man das Portefeuille
auf den Null-Level "liften", indem man eine "Zuschlag" eines
risikofreien PF's y hinzunimmt.
Ciao
Nelson
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-17
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2005-04-17 20:33: Nelson schreibt:
Die Idee dahinter kann man aus der Definition von z ablesen:
Falls x^T\.S_0 tatsächlich < 0 wäre, kann man das Portefeuille
auf den Null-Level "liften", indem man eine "Zuschlag" eines
risikofreien PF's y hinzunimmt.
Das verstehe ich nicht ganz. Wie soll ich das "liften"? In dem von dir genannten Fall steht doch dann da: z = x+ irgendwas. Was bringt mir das?
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Nelson
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| Beitrag No.8, eingetragen 2005-04-17
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@Kleine Meerjungfrau
Jetzt versuch ich's nochmal:
Die erste Frage, die wir hier mal klären müssen, ist: Wie lautet der Satz, der überhaupt bewiesen werden soll und wie bewerkstelligt man
das logisch? Antwort: a) Die zu beweisende Aussage lautet
(Es gibt kein Arbitrage-PF x mit x^T\.S_0 = 0)=>(Das Modell ist arbitragefrei).
"Das Modell ist arbitragefrei" ist das gleich wie die Aussage "Es gibt kein Arbitrage-PF".
b) Logisch bewerkstelligt wird dies durch die Widerspruchsannahme:
(Es gibt kein Arbitrage-PF x mit x^T\.S_0 = 0) \und (Das Modell ist NICHT arbitragefrei).
Aus der Annahme "Das Modell ist nicht arbitragefrei" erhalten wir das
ominöse PF x, das die drei Bedingungen der Definition erfüllt und jetzt
fahren wir die Annahme "Es gibt kein Arbitrage-PF x mit x^T\.S_0 = 0"
an die Wand indem wir definieren
z := x - "irgendwas" und setzen "irgendwas" auf y*(x^T\.S_0)/(y^T\.S_0).
Dann rechnen wir nach, daß dieses so definierte z tatsächlich ein Arbitrage-PF ist und daß auch wirklich z^T\.S_0 = 0, und zwar
unabhängig davon, ob x^T\.S_0 =0 ODER x^T\.S_0 <0 . Folglich
erhalten wir den WIDERSPRUCH :
Es gibt zwar kein Arbitrage-PF x mit x^T\.S_0 = 0 ABER z ist ein solches PF, also gilt doch a).
{Das ist die Antwort auf deine Frage: "Was bingt mir das ?" -
Dazu kann ich nur sagen: Du sollst einen Satz beweisen und
so kann man das machen}
Die einzige Frage, die jetzt noch zu klären wäre, heißt: Woher kommt
das y? Antwort: Dieses y GIBT ES laut deiner Definition + Aussage
zum "risikolosen PF".
Ciao
Nelson
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-18
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Ich glaube, du verstehst mein Problem nicht. Mir geht es darum zu verstehen, wo diese Gleichung z:=x - "irgendwas" herkommt. Klar, sie wurde so definiert aber wie kommt man auf diese Definition? Was genau sagt sie aus? Was bringt es mir, das z gerade so und nicht anders zu definieren (außer, dass der Beweis dann aufgeht)? Also mir geht es nicht um den Beweis sondern vielmehr um das, was eigentlich da auf dem Papier steht an Formeln.
Ich hoffe, mein Problem ist jetzt etwas klarer ausgedrückt.
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-04
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Und auch das hier hat sich erledigt. Danke schön, Nelson!
Gruß
kleine Meerjungfrau
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