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| Autor |
  Differenzierbarkeit |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2002-12-17
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Hallöchen!
Wer weiss wie man die folgenden beiden Aufgaben löst?
1. Ist f in a differenzierbar so gilt
f ' (a)= lim (h->0) ( f(a + h) - f(a - h) ) / (2h)
2. Existiert lim(h->0) [f(a + h) - f(a - h)] / (2h) so ist f in a differenzierbar und 1. gilt !
Danke schonmal!
stumpi
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14610
Wohnort: Solingen
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-12-17
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Hi stumpi,
manche definieren die Differenzierbarkeit genau so, wie es in Deiner Aufgabe steht. Ihr habt also eine andere Definition und Du mußt nun aus dieser Definition die Aussagen herleiten.
Fang mal damit an, die Definition hinzuschreiben und diese mit der Behauptung zu vergleichen.
Gruß
Matroid
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dmx
Ehemals Aktiv 
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2002-12-18
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zu 2) im prinzip müsste ich ja dann nur zeigen, dass wenn lim(h->0) [f(a + h) - f(a - h)] / (2h) existiert, eben stets auch lim(h->0) [f(a + h) - f(a) / (h), sofern man die differenzierbarkeit so definiert hat, existiert, oder? wenn ja, wie könnte ich das am besten bewerkstelligen.
gruß, dmx.
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matroid
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2002-12-18
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Erstens: sofern man sie so definiert hat.
Aber wie ist Sie definiert?
Zweitens: Bei a. mußt du aus Diffbarkeit die Grenzwertbehauptung folgern.
Bei b. umgekehrt: aus der Grenzwertaussage die Definition der Diffbarkeit folgern.
Gruß
Matroid
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dmx
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.4, eingetragen 2002-12-18
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hmm, vielleicht sehe ich das ja falsch, aber ich setze also
lim(h->0) [f(a + h) - f(a - h)] / (2h) = lim(h->0) [f(a + h) - f(a) / h
aber wie zeige ich dann, dass die beiden grenzwerte für bel. f gleich sind? setzt man probe zb. für f(x) = x^2 hauts hin, aber wie zeige ich die gleichheit ganz allgemein?
vieln dank und viele grüße dmx.
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matroid
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| Beitrag No.5, eingetragen 2002-12-18
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Geh mal etwas geordnetet und formaler vor.
Zeige a.
Voraussetzung: Sei f differenzierbar in a.
Zu zeigen: f ' (a)= lim (h->0) ( f(a + h) - f(a - h) ) / (2h)
Beweis:
f diffbar, d.h. lim (h->0) ( f(a + h) - f(a) ) / h existiert und der Grenzwert wird mit f '(a) bezeichnet.
Daß der Grenzwert existiert heißt:
Für alle e' > 0 ex. ein d' > 0, so daß gilt: |a+h-a|<d' => |(f(a+h)-f(a))/h - f '(a)| < e'
Also: |h| < d' => |(f(a+h)-f(a))/h - f '(a)| < e'
Soweit zur Interpretation der Voraussetung.
Zu zeigen ist: Für alle e > 0 ex. ein d > 0,
so daß gilt: |a+h-a-h|=|2h|<d => |(f(a+h)-f(a-h))/(2h) - f '(a)| < e
Um das zu zeigen, beginnt man:
Sei e > 0.
[Ich unterscheide bewußt e und e'. Es sind grundsätzlich verschiedene Epsilons. Ziel ist nun, das gesuchte d aus dem vorausgesetzten d' herzuleiten, bzw. mit dem Wissen über d' ein geeignetes d für e zu finden.]
Nun ist (der einzige Trick im Beweis):
f(a+h)-f(a-h) = f(a+h)-f(a) - ( f(a-h) - f(a) )
Also ist nach der Dreiecksungleichung:
|f(a+h)-f(a-h)|/(2h) -f '(a)|
= |f(a+h)-f(a) - ( f(a-h) - f(a) )|/(2h) -f '(a)/2-f '(a)/2|
£ |(f(a+h)-f(a))/h - f '(a)|/2 + |(f(a-h) - f(a))|/h -f '(a)|/2
Für jeden der Summanden gilt aber nach Voraussetzung, daß man zu e = f' ein d' findet, so daß der Summand kleiner e ist.
Wenn man nun d = e' wählt, dann gilt für |h| < d (=d'):
|(f(a+h)-f(a))/h - f '(a)|/2 + |(f(a-h) - f(a))|/h -f '(a)|/2
< e/2 + e/2 = e.
Aufgrund der Vorausetzung kann also zu jedem e das erforderliche d gefunden werden.
Es hat sich sogar herausgestellt, daß d=d' ausreichend ist, für den Grenzwertbeweis. Das ist aber nur in dieser Aufgabe so.
Gruß
Matroid
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