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Differentiation » Taylorentwicklungen » Taylor-Polynom
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Kein bestimmter Bereich J Taylor-Polynom
neonknight
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Dabei seit: 20.12.2002
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  Themenstart: 2002-12-20

Hallo Ich bin neu auf Matheplanet und dies wird mein erster Beitrag *freu* Kann mir jemand folgende Aufgabe erklären bzw zeigen, wie man das TP bildet: Gegeben sei die Funktion f(x)=50+16x+200e -0,1*(x-10) Bestimmen Sie das Taylorpolynom P2(x) von f(x) an der Stelle x0=10 Hinweis: Pn(x)=(Summe k=0 -> n) 1/k! * (x-x0)k * f(k)(x0) Ausserdem: - wozu dient das Taylor-Polynom? - Die Formel schaut unglaublich Arbeitsaufwändig aus, ist sie das auch wirklich? Gibt es Tipps und Tricks? Vielen Dank für Eure Hilfe!

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Seb
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Dabei seit: 01.07.2002
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Wohnort: Dresden
  Beitrag No.1, eingetragen 2002-12-20

Hallo NeonKnight! Vielleicht erst mal kurz zur Motivation. Gefragt ist eine Näherung der gegebenen Funktion f in dem Punkt x0. Als 0. Näherung ist die konstante Funktion P0(x)=f(x0). Diese stimmt immerhin in dem gegebenen Punkt überein. Aber sonst? Also nehmen wir eine bessere Näherung. Wir nutzen die erste Ableitung in x0, d.h. den Anstieg. Und bilden uns die Gerade P1(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0). Diese hat nun nicht nur den Punkt, sondern auch die Ableitung gemeinsam. Das Verfahren wird nun fortgesetzt und unter Zuhilfenahme von immer höheren Ableitungen nähern wir f immer besser. Die Taylorformel fasst das ganze nun zusammen. Du brauchst also die ersten beiden Ableitungen deiner Funktion. Das überlasse ich dir mal, denn das ist nicht so schwer. Dann berechnest du f'(10) und f''(10). Dein Taylorpolynom ist dann P2(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2*(x-x0)^2 in der nächsten Stufe (P3) würde dann noch f'''(x0)/(3*2)*(x-x0)^3 hinzukommen, aber das brauchst du ja gar nicht, da du auch keine Restgliedabschätzung machen sollst. Reicht das erstmal als Beantwortung deiner ersten (#Tusch) Frage? Seb

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neonknight
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-21

Hallo Seb Vielen Dank für Deine Hilfe! Ich habe die Sache nun lösen können. Mir war vor allem der Ausdruck f(k)(x) nicht ganz verständlich, aber jetzt ist alles klar!

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neonknight
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-21

*noch-schnell-das-ok-häkchen-setz*  :-)

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