| Autor |
  Umkehrfunktion |
|
cassiopaia
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 469
 |  Themenstart: 2002-12-29
|
Hat dazu jemadn einenLösungsanssatz?
|
 Profil
|
Martin_Infinite
Senior 
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-12-29
|
zu a)
f'(x) = 3x^2+2e^(2x)
Wegen 3x^2 > 0 und e^x > 0
ist f'(x) stets > 0
Das bedeutet aber, dass die Funktion in I streng monoton steigt, was das Kriterium für eine Umkehrfunktion ist.
|
Profil
|
Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2002-12-29
|
Hi Cassiopaia,
streng genommen musst du die Bijektivität der Abbildung zeigen, also Injektivität und Surjektivität. Da zum Wertebereich keine weiteren Angaben gemacht sind, kannst du die Surjektivität "konstuieren", indem du als Wertebereich den Bildbereich nimmst. Die Injektivität lässt sich zeigen, indem man strenge Monotonie nachweist, wie Martin schon sagte. Dann kannst du sicher sein, dass eine Umkehrfunktion existiert, und dann kannst du sie bilden. Formal geht das so:
1) Variablen y,x tauschen
2) nach y wieder auflösen
Dann kannst du die Ableitungsfunktion berechnen, und wenn sie für alle Elemente aus der Definitionsmenge von f^-1 definiert ist, hast du auch die differenzierbarkeit gezeigt.
|
Profil
|
Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
| Beitrag No.3, eingetragen 2002-12-29
|
ih, ich seh grad meine tollen Tips helfen dir bei diesen Funktionen recht wenig, da die Funktionsterme der Umkehrfunktionen nicht explizit angegeben werden können. Hmm, dann gibts da irgendne Regel, mit der man die Ableitung in einem Punkt der Umkehrfunktion anders errechnen kann, ich weiss sie aber jetzt nicht.
|
Profil
|
cassiopaia
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 469
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-30
|
Ich hab da eine Regel:
sei f: I -> IR stetig, streng monoton, f`(x0) ¹ 0. Dann ist f-1 : J -> I, J = f(I) Bildintervall definiert differnzierbar in y0 = f(x0) und f-1`(y0) = 1 / f`(x0)
Leider weiß ich noch nicht so Recht mit dieser Regel umzugehen.
Deswegen schaffe ich es auch nicht (f-1)`(y0) zu berechn en.
Kann mir das vielleicht jemand an einem Beispiel vormachen?
Gruß
Cassiopaia
|
Profil
|
insane
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
 | Beitrag No.5, eingetragen 2002-12-30
|
mal eine frage: was soll denn "berechnen Sie (f^-1)`y0" bedeuten ?
f^-1 = umkehrfunktion
(f^-1)` = Ableitung der Umkehrfunktion
(f^-1)`y0 = Produkt(Ableitung der Umkehrfunktion,y0) ?
y0 = f(2)
die "normale" vorgehensweise:
f(x) durch y ersetzen
nach x auflösen
x und y vertauschen
y durch f(x)^-1 ersetzen
scheint nicht zu funktionieren...
b)
f(x) = cosh(x)
f(x)^-1 = arccosh(x)
arccosh(x) = ln(x+Öx²-1)
cosh(x) = ½*(e^x+e^-x)
y = ½*(e^x+e^-x)
y = (e^x + e^-x) / 2
y = (e^2x + e^0) / 2*e^x
y = (e^2x + 1) / 2*e^x
2ye^x = e^2x + 1
e^2x -2ye^x = -1
e^2x -2ye^x +y² = y² -1
(e^x -y)² = y² -1
e^x - y = Öy²-1
e^x = y+Öy²-1
ln(e^x) = ln(y+Öy²-1)
x = ln(y+Öy²-1)
y = ln(x+Öx²-1)
f^-1 = ln(x+Öx²-1)
das spiegeln an der 1. winkelhalbierenden im 1. quadranten entfällt wohl auch ;)
|
Profil
|
pendragon302
Senior
Dabei seit: 29.06.2002
Mitteilungen: 2003
Wohnort: Garbsen/Hannover
 | Beitrag No.6, eingetragen 2002-12-30
|
Hi
du hast y0=8+e4
f(x)=8+e4
->x=2
Du kannst doch f(x) ableiten.
Die Regel sagt
f-1'(y0)=1/f'(x0)
f'(x)=3x2+2e2x
y0=8+e4
x0=2
f-1'(8+e4)=1/f'(2)
f-1'(8+e4)=1/(3·22+2·e2·2)=1/(2·(e4+6))
Hoffe hab keinen Fehler!
Gruß
|
Profil
|
Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.7, eingetragen 2002-12-30
|
2002-12-29 17:57: cassiopaia schreibt:
>
>
> Hat dazu jemadn einenLösungsanssatz?
£ÕdXYµQCourierkursivywvuÙ
|
|
Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
| Beitrag No.8, eingetragen 2002-12-30
|
Genau das ist die Regel, die gesucht war. Pendragons Rechnung oben ist richtig.
|
Profil
|
cassiopaia
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 469
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-30
|
Vielen Dank für eure Hilfe.
Habe aber noch Fragen:
Wieso muss ich für Aussagen über die strenge Monotonie bzw. die damit verbundene Stetigkeit die Ableitung untersuchen?
Zur Rechnung von Pendragon:
Wie kommt man auf f(xo) = 8 + e^4 -> x=2?
zur Aufgabe b)
Wie muss ich mein yo dort wählen?
Gruss
Cassiopaia
|
Profil
|
Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
| Beitrag No.10, eingetragen 2002-12-30
|
Hi Cassiopaia,
eine Funktion ist streng monoton steigend auf dem Intervall I, wenn für alle x aus I die Steigung f'(x) grösser als Null ist. Verdeutliche dir dies mal an einem Beispiel.
zu a) y0= 8 +e^4 , f(x)= x^3 + e^2x
=> 8+e^4 = x^3 + e^2x , dass musst du nach x auflösen, was allerdings nicht explizit geht. Doch wenn man näher hinschaut ist diese Gleichung für x=2 gelöst. Das war halt eine "nette" Aufgabenstellung. Wäre das nicht so einfach zu sehen gewesen, dann hätte man die Lösung numerisch (ZB Newton-Verfahren) bestimmen müssen.
zu b) die Ableitung von cosh(x) ist sinh(x). Da sinh(x) für x aus I immer grösser als Null ist, existiert eine Umkehrfunktion auf diesem Intervall. Sie heisst arcosh(x), glaub ich. Die Ableitung davon ist 1/(x^2-1), ich bin mir aber nicht ganz sicher.
|
Profil
|
insane
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
| Beitrag No.11, eingetragen 2002-12-30
|
bei b) braucht man kein y0 da man cosh(x) nach den üblichen Regeln umkehren kann...
der Richtigkeit halber:
arccosh(x)`= 1 / Öx²-1
[ Nachricht wurde editiert von insane am 2002-12-30 15:26 ]
|
Profil
|
cassiopaia
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 469
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-30
|
Ja stimmt.
Aber richtig muss es lauten
(arccosh x)` = 1 / ( Öx² - 1)
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
