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  Nullstellen und Differenzierbarkeit |
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morpheus
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 10.11.2002
Mitteilungen: 119
 |  Themenstart: 2002-12-30
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Es sei f auf IR differenzierbar
Zeigen sie:
a) Ist f e Cn(IR) und hat f(n) höchstens k Nullstellen, so hat f höchstens k+n Nullstellen
b) Die Gleichung 2x = 1 + x² hat genau 3 Lösungen
Kann mir jemand weiterhelfen?
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morpheus
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 10.11.2002
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|  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-30
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Vielleicht noch zur Erläuterung:
zu a) C^n(IR) = Menge aller Funktionen f: IR -> IR, so dass f^(n) stetig ist
f^(n) = n-te Ableitung von f = (f^(n-1) )`
zu b) Könnte man vieleicht mit dem Mittelwertsatz arbeiten, ist aber reine Spekulation
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Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2002-12-31
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Hi Morpheus,
zu a) würde mir eine Möglichkeit einfallen, falls man annehmen könnte, dass die betrachteten Funktionen ganzrational sind. Dann könnte man nämlich über die Grade der Polynome argumentieren, da ja:
f(x) vom Grad n => f'(x) hat den Grad n-1
Und da ganzrationale Funktionen vom Grad n höchstens n Nullstellen haben, könnte man diese Beziehung ausnutzen.
Allerdings ist ja nicht diese Einschränkung gemacht, und deswegen reicht das nicht.
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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 |  Beitrag No.3, eingetragen 2002-12-31
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zu b würde ich die Newtonsche Methode zur Nullstellenberechnung nehmen. Denn da keine Parameter auftreten, reicht es ja schon, die Nullstellen zu approximieren...
Man kann auch hier Regula Falsi nehmen, aber egal ...:
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2002-12-31 14:02 ]
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Martin_Infinite
Senior
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|  Beitrag No.4, eingetragen 2002-12-31
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Dass x = 0 Lösung ist, sieht man ja sofort, denn
20 = 1 + 02 ist ja wahr.
Die zweite, Näherung:
x0 = 1,042
x1 = 1,001
x2 = 1,00001709
x3 = 1
Na gut, x = 1 ist auch einfach, weil 2^1=1+1^2 ist wahr.
Die dritte Näherung:
x0 = 4,298
x1 = 4,258
x2 = 4,257
x3 = 4,257461914
Aber wo ich gerade sehe, dass man zeigen soll, dass es
genau 3 Lösungen gibt, da bin ich überfordert!
Ich hoffe, ich habe dir trotzdem mit der Approximation geholfen!
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2002-12-31 14:01 ]
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Siah
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| Beitrag No.5, eingetragen 2002-12-31
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Hi Morpheus,
bei b) sollst du zeigen, dass es genau 3 Lösungen gibt. Das heisst genau, dass du zeigen musst, dass es mindestens 3 Lösungen und höchstens 3 Lösungen gibt. Das es mind 3 gibt, hat dir Martin_Infinite oben gezeigt, jetzt gilt es noch zu zeigen, dass es höchstens 3 gibt.
Dazu kannst du den Satz aus Teil a) verwenden.
Leite f(x)= 2^x-1-x^2 dreimal ab. Dann siehst du, dass die dritte Ableitung keine Nullstelle besitzt, also gilt dafür nach Satz a), dass es höchstens 0 Nullstellen gibt. Dann gilt für die zweite Ableitung dass es höchstens eine Nullstelle gibt, dann gilt für die erste Abl., dass es höchstens zwei Nullstellen gibt, und dann gilt auch für f(x), dass es höchstens 3 Nullstellen gibt.
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morpheus
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-31
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Hallo!
Danke für eure Hilfe!
zu a) Bleibt mir wohl nichts anderes übrig als das allgemein zu zeigen.
Mal schauen wie!
zu b) Da hätte ich mal eine Frage. Wenn ich 2^x ableiten will, was ergibt das?
Da bin ich mir nicht ganz sicher.
Gruss
[ Nachricht wurde editiert von morpheus am 2002-12-31 15:08 ]
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Martin
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2002-12-31
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Hi morpheus!
Die Ableitung von a^x ist a^x*ln(a).
mfg
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin am 2002-12-31 15:22 ]
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morpheus
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-31
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Demnach wäre
f``(x) nach Anwendung der Produktregel: 2^x*log4 + 2^x*1/2 = 2
usw.
Wie kann ich jetzt aber daran zeigen das es nur 3 Lösungen gibt?
Da muss es doch einen anschaulichen Weg für geben?
Gruss
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Siah
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| Beitrag No.9, eingetragen 2002-12-31
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Nein Morpheus,
(2^x)'= 2^x * ln(2)
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morpheus
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-31
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@Siah
Ich rede von der zweiten Ableitung und die müsste eigentlich richtig sein, wenn ich die Produktregel richtig angewandt habe
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pendragon302
Senior
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 | Beitrag No.11, eingetragen 2002-12-31
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Hi
Wozu bruachst du die Produktregel!
Wenn du eine Funktion hast f(x)=2x
Dann ist erste Ableitung f'(x)=ln(2)·2x
und die zweite dann
f''(x)=ln(2)·ln(2)·2x=(ln(2))2·2x
ln(2) ist ein konstanter Faktor der ersten Ableitung sodass er beim Ableiten keine Rolle spielt.
-----------------
Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.
Albert Einstein
[ Nachricht wurde editiert von pendragon302 am 2002-12-31 19:14 ]
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morpheus
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-31
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Alles klar!
War mir deswegen auch nicht ganz sicher.
Aber wie kann ich jetzt mit den Ableitungen argumentieren, das im endeffekt nur drei Lösungen existieren?
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pendragon302
Senior
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| Beitrag No.13, eingetragen 2002-12-31
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Das hat dir doch Siah schon veraten.
Zeige das die Dritte Ableitung keine Nullstellen hat!
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Beitrag No.14, eingetragen 2002-12-31
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Da einige immer noch nicht sicher ableiten, müsste Matroid oben links
bei Auswahl direkt einen Link zu den Differentiationsregeln machen, oder?
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
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Wohnort: Solingen
 | Beitrag No.15, eingetragen 2003-01-02
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Die a. ist ein Induktionsbeweis.
n=0
Hat f = f(0) höchstens k Nullstellen, so hat f höchstens k+n Nullstellen. Richtig.
n=1:
Hat f ' höchstens k Nullstellen, so hat f höchstens k+1 Nullstellen.
Richtig, denn hätte es mehr als k+1 Nullstellen, also mindestens k+2,
und seien x1 £ ... £ xk+2 die aufsteigend sortierten Nullstellen dann sagt der Satz von Rolle, daß zwischen xi und xi+1 jeweils eine Nullstelle der Ableitung liegt. i läuft von 1 bis k+1.
Also hätte f ' mindestens k+1 Nullstellen.
Induktionsvoraussetzung: Gelte die Behauptung für n.
Induktionsschritt: Habe f(n+1) höchstens k Nullstellen.
Dann hat f ' nach Induktionsvoraussetzung höchstens k+n Nullstellen.
Und daraus folgt, daß f höchstens (k+n)+1 Nullstellen hat.
Gruß
Matroid
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