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Analysis » Funktionen » exp(x)+x=c analytisch geschlossen lösbar ?
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Universität/Hochschule J exp(x)+x=c analytisch geschlossen lösbar ?
MarcR
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  Themenstart: 2005-07-20

Hallo Forum, wollte mal fragen ob jemand von euch weiss ob man die Gleichung exp(x)+x=c analytisch geschlossen lösen kann oder ob man das nur noch numerisch mit Intervallschachtelung,etc. lösen kann. Vielen Dank im Voraus, Gruß Marc


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Diffform
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  Beitrag No.1, eingetragen 2005-07-20

Hallo Marc, willkommen auf dem Matheplaneten! Ich bin da jetzt auch nicht so fit, aber vielleicht hilft dir das erstmal weiter! Gruß, Bastl


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MarcR
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2005-07-20

Hi Bastl, danke für den Link, der hat mir doch gleich mal weitergeholfen. Ich spekulier mal weiter. Gemäß dem Link hat f(z) = z*exp(z) die Lambert'sche W-Funktion als Umkehrfunktion. Formen wir nun wie folgt das Ausgangsproblem um erhalten wir    exp(x)+x=c <=> exp(x)=c-x <=> exp(c-z)=z mittels Subst: z=c-x <=> exp(c)/exp(z) = z <=> exp(c) = z*exp(z) Somit sollte die Lösung durch x = c-W(exp(c)) gegeben sein, oder ? Wobei W(x) = sum((-1)^(n-1)  n^(n-2)/(n-1)! x^n,n=1,\inf\ ) Macht das Sinn ? Gibts andere Wege ? Gruß Marc


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MarcR
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2005-07-20

Ja koole Sache das, für exp(x)+x=0 erhalte ich die numerische Nullstelle x= -0.56714.. Und mittels der Lambert'schen W-Funktion erhalte ich x = c - W(exp(c)) => x = 0 - W(exp(0)) <=> x = - W(1) <=> x = -0.567143.. Wobei W(1) gerade der Omega-Konstante entspricht (laut Wolfram), die als Goldener Schnitt von Exponentialfunktionen zu betrachten ist. Wow, Gruß Marc [ Nachricht wurde editiert von fed am 20.07.2005 13:33:32 ] [ Nachricht wurde editiert von MarcR am 20.07.2005 13:34:16 ]


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MarcR
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2005-07-20

Hab das die Methode jetzt mal mit den Ergebnissen einer Intervallschachtelung verglichen. Es ergab sich : c= -15 -> x_i= -15.0000003050081  x_w= -15.0000003059022 c= -14 -> x_i= -14.0000008314382  x_w= -14.000000831528 c= -13 -> x_i= -13.0000022612512  x_w= -13.0000022603243 c= -12 -> x_i= -12.000006143935  x_w= -12.0000061441746 c= -11 -> x_i= -11.0000167018734  x_w= -11.0000167014219 c= -10 -> x_i= -10.0000453973189  x_w= -10.0000453978687 c= -9 -> x_i= -9.0001233946532  x_w= -9.00012339457693 c= -8 -> x_i= -8.00033535109833  x_w= -8.00033535014932 c= -7 -> x_i= -7.00091105187312  x_w= -7.00091105157238 c= -6 -> x_i= -6.00247262977064  x_w= -6.0024726307091 c= -5 -> x_i= -5.00669300090522  x_w= -5.00669300049773 c= -4 -> x_i= -4.01798910228536  x_w= -4.01798910282853 c= -3 -> x_i= -3.04747849120758  x_w= -3.04747849104795 c= -2 -> x_i= -2.12002823827788  x_w= -2.12002866990196 c= -1 -> x_i= -1.27846454270184  x_w= -1.28518331767375 c= 0 -> x_i= -0.567143290536478  x_w= -83.1972470238095 c= 1 -> x_i= 0  x_w= 0 c= 2 -> x_i= 0.442854401189834  x_w= 0.443888934070445 c= 3 -> x_i= 0.792059968225658  x_w= 0.79144843558644 c= 4 -> x_i= 1.0737289377721  x_w= 1.07354713805752 c= 5 -> x_i= 1.30655864108121  x_w= 1.30652902431668 c= 6 -> x_i= 1.50333582714666  x_w= 1.503342537906 c= 7 -> x_i= 1.67282169859391  x_w= 1.67283360286368 c= 8 -> x_i= 1.8211346535827  x_w= 1.82114471938613 c= 9 -> x_i= 1.95265145332087  x_w= 1.95265881016372 c= 10 -> x_i= 2.0705799049756  x_w= 2.0705850386174 c= 11 -> x_i= 2.17732510063797  x_w= 2.17732863354832 c= 12 -> x_i= 2.27472787140869  x_w= 2.27473030059599 c= 13 -> x_i= 2.36422346308245  x_w= 2.36422514095983 c= 14 -> x_i= 2.44694951354177  x_w= 2.44695068034298 c= 15 -> x_i= 2.52382113540079  x_w= 2.52382195282303 Wobei x_i der Wert aus der Intervallschachtelung (mit eps<1e-9) ist und x_w der Wert mittels der (numerisch approximierten) W-Funktion. Sieht doch gar net schlecht aus =) Gruß Marc


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MarcR
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Hallo Forum, also mit der Lambert'schen W-Funktion scheint man sehr viel lösen zu können. Einige Beispiele aus www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.ps x*exp(x)=a <=> x=W(a) x*b^x=a <=> x=W(a log(b))/log(b) x^x^a = b <=> x=exp(W(a log(b))/a) a^x=x+b <=> x=-b-W(-a^(-b) log(a))/log(a) Gruß Marc Weitere Links : en.wikipedia.org/wiki/Lambert's_W_function www.desy.de/~t00fri/qcdins/texhtml/lambertw/ [ Nachricht wurde editiert von MarcR am 20.07.2005 16:54:27 ]


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