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  Herleitung der Formel für die Summe aller Quadrate |
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27785
Wohnort: Hessen
 |  Beitrag No.9, eingetragen 2005-10-31
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Sonnhards PDF ist ziemlich heftig mit dem Umweg. Ich hatte damals zu Schulzeiten mal alle Summenformeln bis zum Exponenten 17 hergeleitet!
Ich hab zwar meine Aufzeichnungen von damals nicht mehr (war ein riesen Kalenderblatt vollgeschrieben), aber ich hab das Verfahren wieder gefunden. Hier isses:
Ich habe einen direkten Beweis, der ohne Raten oder Ansätze sum(k^m,k=1,n) bestimmt. Er ist in einem gewissen Sinne noch induktiv, da man zur Bestimmung die Ausdrücke für sum(k^1,k=1,n) bis zu sum(k^(m-1),k=1,n) benötigt.
Leider fällt immer noch eine Sache vom Himmel, nämlich die Idee. Aber wenigstens ist die dieses mal für alle m gleich, und was ist schon ein Beweis, in dem man keine Idee braucht?
Der Trick ist einfach, daß man etwas mit dem Ausdruck sum((k+1)^(m+1),k=1,n) rumrechnet. Abkürzung: S_m=sum(k^m,k=1,n), also eine Abkürzung genau für die gefragten Potenzsummen.
Wir gehen davon aus, daß S_1, ..., S_(m-1) bekannt sind, und berechnen daraus S_m. Ich rechne mal nur das Beispiel m=3 halb vor, da das ganze auch in ziemliche Schreibarbeit ausartet.
Wir berechnen:
sum((k+1)^4,k=1,n) = sum(k^4,k=1,n) + 4*sum(k^3,k=1,n) + 6*sum(k^2,k=1,n) + 4*sum(k,k=1,n) + sum(1,k=1,n)
Subtraktion von sum(k^4,k=1,n) und einsetzen der Abkürzungen liefert:
sum((k+1)^4,k=1,n) - sum(k^4,k=1,n) = 4*S_3 + 6*S_2 + 4 S_1 + n
Auf der linken Seite fallen alle Summanden heraus, bis auf den letzten der ersten Summe und den ersten der zweiten Summe. Also gilt:
(n+1)^4-1^4=4*S_3 + 6*S_2 + 4* S_1 + n
Jetzt die bekannten Ausdrücke für S_1 und S_2 einsetzen und das ganze nach S_3 umstellen.
Ich hoffe, die Idee ist klar geworden. Nun wurde hier die Summe der Kubikzahlen berechnet, Du suchst die Quadratzahlen. Aber das kannst Du nun selbst: "spiele" in gleicher Weise mit dem Ausdruck
sum((k+1)^3,k=1,n)
herum.
Gruß vom 1/4
[ Nachricht wurde editiert von fed am 05.11.2005 03:59:00 ]
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JCLizard
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 17.10.2005
Mitteilungen: 53
Wohnort: Leipzig
 | Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2005-10-31
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Danke, mein Problem ist damit gelöst ;)
Schönen Abend noch...
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| | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46549
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.11, eingetragen 2005-10-31
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Hi alle,
wer sich mit Potenzsummen befaßt, dem kann man diesen Artikel von trunx empfehlen, wo alles drinsteht.
Gruß Buri
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DareDevil
Senior
Dabei seit: 28.05.2004
Mitteilungen: 2277
 | Beitrag No.12, eingetragen 2005-11-01
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Hallo!
@ Viertel: Ja, sein Problem ist schon ziemlich klar formuliert gewesen. Aber man kann "Herleitung" auch als: "Raten der Lösung (bzw. systematisch eine Struktur finden) und aufstellen+beweisen einer Behauptung " interpretieren.
Daher fand ich einen Induktionsbeweis auch nicht so abwegig und habe nachgefragt, ob er das vielleicht so machen darf und will anstatt wie von ihm vorgeschlagen. Aber so war es dann halt nicht gemeint  !
Lieben Gruß,
DareDevil
[ Nachricht wurde editiert von DareDevil am 01.11.2005 01:17:34 ]
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galexy
Senior 
Dabei seit: 12.01.2004
Mitteilungen: 1383
Wohnort: Hamburg
 |  Beitrag No.13, eingetragen 2005-11-01
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Ich muss dann wohl auch noch einen Kommentar abgeben.
Die Aufgabe "Leiten Sie eine Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen her." kann man auch anderes formulieren:
Zeigen Sie, dass es ein Polynom dritten Grades gibt, für das gilt
f(0)=0 und f(x+1)=f(x)+(x+1)^2 für alle x \el \IN
@viertel: Dein Verfahren läuft soweit ich weiß unter "Pascalsche Identität" 
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| Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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