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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Vektorräume » R als Q-Vektorraum
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Universität/Hochschule R als Q-Vektorraum
rosahubert
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.01.2006
Mitteilungen: 3
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2006-01-02


Hallo!
Ich habe leider etwas Probleme mit der folgenden Aufgabe und würde mich über einige Denkanstöße freuen.

Sei π die bekannte Kreiszahl. In der Analysis werden sie vielleicht folgendes Resultat beweisen:
Es gibt kein Polynom p ∊ Q[x], p≠ 0, so dass p(π) = 0. Betrachten Sie R als Q-Vektorraum und
folgern Sie aus obigem Resultat, dass R als Q-Vektorraum unendliche Dimension hat.

Vielen Dank!



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Hank
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 08.12.2004
Mitteilungen: 931
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2006-01-02


Naja der Punkt ist halt folgender.

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shadowking
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3422
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2006-01-02

\(\begingroup\)
Hallo Hubert,

willkommen auf dem Planeten.

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Gruß shadowking

[ Nachricht wurde editiert von fed am 02.01.2006 19:00:15 ]
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Martin_Infinite
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Aus: Münster
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2006-01-02


Hi,
 
Pi ist eine transzendente Zahl. Daher ist R/Q transzendent und hat damit unendlichen Grad. Denn man kann sich leicht klarmachen, dass endliche Erweiterungen algebraisch sind.

Explizit induziert das Einsetzen von Pi in rationale Polynome einen Q-Monomorphismus Q[x] -> R. Damit hat R/Q unendlichen Grad.

 Gruß
Martin



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gmkwo
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 07.05.2005
Mitteilungen: 543
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2006-01-03


Hi,

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mfg stephan



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shadowking
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3422
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2006-01-03


Hallo Stephan,

eine solche Basis ist überabzählbar und heißt Hamel-Basis.
Die Existenz einer Hamel-Basis folgt aus der Aussage
"Jeder Vektorraum besitzt eine Basis", die äquivalent zum
Auswahlaxiom ist. Daher wird es nicht möglich sein,
konstruktiv eine Hamel-Basis anzugeben.

Gruß shadowking



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gmkwo
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 07.05.2005
Mitteilungen: 543
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2006-01-03


Warum folgt aus der Äquivalenz zum Auswahlaxiom das man keine Basis Angeben kann?

Ich könnte mir Vorstellen, dass man die Basis als (unendlichen) Durchschnitt o.ä. formulieren kann.

mfg  stephan



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Martin_Infinite
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Aus: Münster
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2006-01-03


Hi,
 
um solche Fragen zu beantworten, müsste man erst einmal definieren, was du unter "Angeben" verstehst
 
Die Existenz einer Hamel-Basis ist schwächer als das Auswahlaxiom. Also es gibt Modelle von ZF, in denen das Auswahlaxiom verletzt ist, aber eine Hamel-Basis existiert.
 
 Gruß
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 03.01.2006 21:21:20 ]



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troglodyt
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.01.2011
Mitteilungen: 54
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2011-01-26



Die Existenz einer Hamel-Basis ist schwächer als das Auswahlaxiom. Also es gibt Modelle von ZF, in denen das Auswahlaxiom verletzt ist, aber eine Hamel-Basis existiert.

Das stimmt so nicht. Die Existenz einer Hamelbasis ist über ZF äquivalent zum Auswahlaxiom.



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Gockel
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25544
Aus: Jena
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2011-01-26


@troglodyt:

Willkommen auf dem Matheplaneten.

Du meinst etwas anderes, oder? Die Aussage, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, ist tatäschlich äquivalent zum AC. Das ist Martin auch bewusst. Hier geht es nur um IQ-Basen von IR, was ja nur ein Spezialfall ist.

mfg Gockel.



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troglodyt
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.01.2011
Mitteilungen: 54
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2011-01-26


@gockel

Habe ich überlesen. Sorry.



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