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  Taylorreihe - Lagrange-Restglied |
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cassiopaia
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 469
 |  Themenstart: 2003-03-23
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Bestimmen Sie das Taylorpolynom T2(x;1) von f(x) = Ö(x²+1). Zeigen Sie für |x-1| < 1/2:
|f(x) - T2(x;1)| < Ö5/125
Das Taylorpolynom habe ich schon selbst bestimmt. Es geht mir um die Abschätzung. Es soll ja nichts anderes gezeigt werden als |R2(x;1)| < Ö5/125
Dazu muß ich die dritte Ableitung bestimmen und die Lagrange Form des Restgliedes verwenden.
Aber erstens weiß ich nicht ob meine Ableitung richtig ist und zweitens kriege ich keine geeignete Abschätzung hin.
Kann mir da vielleicht einer weiterhelfen?
MFG
Cassiopaia
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-03-24
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Hi cassi,
als dritte Ableitung habe ich
f^(3)(x) = [3 x^3 - 3x (1 + x^2)] / (1 + x^2)^(5/2)
heraus, das Restglied lautet also
R_3(xi, x) = 1/3! f^(3)(xi) * (x - 1)^3.
Für den Betrag gilt:
|R_3(xi, x)| = xi / [2 * (1+ xi^2)^(5/2)] * (x-1)^3.
Hast du das auch?
Gruß Eckard
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cassiopaia
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-03-24
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Nicht ganz!
Ich kriege als dritte Ableitung raus: (-3x³-3x)/((x²+1)^7/2)
MFG
Cassiopaia
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
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Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.3, eingetragen 2003-03-24
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Hmmm ... Die erste Ableitung hat so etwas wie (x^2+1)^(1/2) als Nenner, die zweite (x^2+1)^(3/2) und die dritte (x^2+1)^(5/2). Die vierte erst (x^2+1)^(7/2), oder?
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cassiopaia
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.10.2002
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2003-03-24
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Die erste und zweite Ableitung stimmen in etwa.
Jedoch mußt du bei der dritten Ableitung beachten das sich aufGrund der Quotientenregel der Nenner verdoppelt und noch mal multipliziert wird mit (x²+1)^1/2 das als Überbleibsel von der Anwendung der Produktregel auf (x²+1)^3/2 enstanden ist.
Also insgesamt (x²+1)^7/2!!!
MFG
Cassiopaia
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
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Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.5, eingetragen 2003-03-24
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Hi cassi,
ach so, schau mal, aus deinem Zähler kannst du noch ein (x^2+1) ausklammern und gegen den Nenner kürzen, weshalb wir dann doch bei ...^(5/2) landen. *schwitz*
Gruß Eckard
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cassiopaia
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2003-03-24
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Ach ja! Hast Recht. Nun gut ich erhalte also -3x/(x²+1)^5/2.
Wende ich nun das Lagrange Restglied darauf an für ein b zwischen 1 und x so erhalte ich |-3b|/(b²+1)^5/2 * |x-1|³/3!
Wie komme ích von da aber jetzt auf die gewünschte Abschätzung?
MFG
Cassiopaia
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TR
Senior 
Dabei seit: 13.12.2002
Mitteilungen: 478
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2003-03-24
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Hi,
b muss nicht zwischen 1 und x sondern kann auch zwischen x und 1 liegen,wobei aus |x-1|<1/2 folgt,das x Î (1/2,1).
Dann kann man das so abschätzen:
Rechenfehler inklusive! 
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cassiopaia
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Dabei seit: 15.10.2002
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2003-03-24
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Vielen Dank Tobi für deine Hilfe.
Eins musst du mir nur noch erklären: Wie kommst du im Zwischenschritt auf die Abschätzung 
Ich versteh nicht wie dieser Ausdruck zu stande kommt?
MFG
Cassiopaia
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TR
Senior
Dabei seit: 13.12.2002
Mitteilungen: 478
Wohnort: Chemnitz
| Beitrag No.9, eingetragen 2003-03-24
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Tut mir Leid.
Das ist natürlich ein Eingabefehler.
Hab das oben richtig gestellt.
Jetzt ok?
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cassiopaia
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 469
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2003-03-24
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Alles Klar!!! Vielen Dank für deine Mühen
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