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 Basis vom Bild bestimmen |
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davidh38
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 17.12.2005
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Wohnort: Düsseldorf
 |  Themenstart: 2006-07-04
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Sei T: \IR^5 -> \IR^3 gegeben durch die Matrix
(-3,2,-1,-1,-7;-3,1,1,-2,-5;8,-2,-4,6,12)
Bestimmen Sie eine Basis von Im(T). Ist T surjektiv? Ist T injektiv?
Hmm, irgendwo habe ich mal gelesen, dass die Spalten einer Matrix die Bilder der Basisvektoren sind. Diese spannen den Raum auf. Also muss ich nur noch schauen, wieviel von denen linear unabhängig sind:
(-3,2,-1,-1,-7;-3,1,1,-2,-5;8,-2,-4,6,12)
I-II
(-3,2,-1,-1,-7;0,1,-2,1,-2; 8,-2,-4,6,12)
8*I+3*III
(-3,2,-1,-1,-7;0,1,-2,1,-2;0,10,-20,10,20)
10*II-III:
(-3,2,-1,-1,-7;0,1,-2,1,-2;0,0,0,0,0)
Wegen Spaltenrang = Zeilenrang ist die Rang 2.
Ich kann mir also zwei linear unabhängig Vektoren aus der Matrix aussuchen:
(-3;-3;8) und (2;1;-2)
Die Abbildung ist natürlich nicht surjektiv, weil Rang 2 und Raum in den abgebildet wird dim 3 hat.
Die Abbildung ist außerdem nicht injektiv, weil dim Urbild 5 > Rang 2
Ist das soweit richtig oder sind da einige Denkfehler drin?
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kostja
Senior 
Dabei seit: 29.12.2004
Mitteilungen: 5432
Wohnort: Stuttgart
 | Beitrag No.1, eingetragen 2006-07-04
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Hallo David, ich habe Deine Rechnung nicht überprüft. Aber sollte diese stimmen, dann ist Deine Argumentation korrekt.
MfG Konstantin
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davidh38
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 17.12.2005
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-07-04
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Hi kostja, vielen Dank, das reicht mir schon :)
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.3, eingetragen 2006-07-04
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Hallo David!
In diesem Fall war es einfach aus dem Rang (=2) eine Basis des Bildes zu bestimmen und die Argumentation wegen Zeilenrang=Spaltenrang auch korrekt. Im Allgemeinen ist dies aber schwieriger.
Von daher empfiehlt es sich bei der Bestimmung einer Basis des Bildes elementaren Spaltenumformungen einzusetzen (bzw. die Matrix zu transponieren und dann erst elementare Zeilenumformungen anzuwenden, was natürlich das gleiche ist), denn dann bekommst du neben dem Rang auch sofort die Basis mitgeliefert (da elementare Spaltenumformungen den Bildraum nicht verändern).
Liebe Grüße
Stefan
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
spikespiegel43
Aktiv 
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Mitteilungen: 43
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-02-03
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\quoteon(2006-07-04 11:46 - kostja in Beitrag No. 1)
Hallo David, ich habe Deine Rechnung nicht überprüft. Aber sollte diese stimmen, dann ist Deine Argumentation korrekt.
MfG Konstantin
\quoteoff
Ich weiß der Beitrag ist schon älter, aber ich verstehe nicht, warum darf denn überhaupt so gerechnet werden? Der Rang der Matrix ist 2 also ist die Dimension des Bildes auch zwei. Aber warum darf man sich jetzt aus der Matrix zwei beliebige unabhängige Vektoren aussuchen?
Könnte jmd. das etwas Formaler vllt. erklären, warum das zulässig ist?
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