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Differentiation » Taylorentwicklungen » Taylorreihe und Restglied (Cauchy)
Autor
Kein bestimmter Bereich J Taylorreihe und Restglied (Cauchy)
wildcopper
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  Themenstart: 2003-04-09

Hallo folgendes Problem habe ich noch:   f(x)=x^2 * lnx - x     ,ist für x>0 bel. oft stetig diffbar ich suche die Taylorreihe um den punkt Xo=3 und das Konvergenzintervall dieser Taylorreihe, sowie das Restglied R20 in der Cauchyschen Form. dank im voraus

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Martin_Infinite
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  Beitrag No.1, eingetragen 2003-04-09

HIER wird auch daran gearbeitet....

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SchuBi
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  Beitrag No.2, eingetragen 2003-04-09

Tut mir leid - ich war einfach zu schnell bzw. zu langsam. Zu schnell: Als ich anfing, war der neue Thread noch nicht auf. Zu langsam mit dem Rechnen: Als ich fertig war, hatte ich keine Lust, den ganzen Krempel umzudirigieren.

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SchuBi
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  Beitrag No.3, eingetragen 2003-04-09

Ich habe gerade noch etwas herumgepuzzlet.Ich finde diesen Trick immer noch schön, aber man kann es auch durch stumpfes Ableiten hinkriegen f(x)=x^2*ln(x)-x f'(x)=x^2/x+2x*ln(x)-1=2xln(x)+2x-1 f"(x)=2x/x+2ln(x)+2=2ln(x)+4 f^3(x)=2/x f^4(x)=-2/x^2 f^5(x)=6/x^3 Am schönsten ist er natürlich, wenn man in x=0 entwickelt. Oder bei so netten Dingen wie x^3*cos(x)....

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Martin_Infinite
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  Beitrag No.4, eingetragen 2003-04-09

Für k>2 ist die k-te Ableitung -2*(-1)^k*(k-3)!*x^(2-k) Also mit der Entwicklungsstelle x=3 \stopalign -2*(-1)^k*(k-3)!*3^(2-k)=-2*(-1)^k*(k-3)!*3^2/3^k =-18*(-1/3)^k*(k - 3)!

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SchuBi
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  Beitrag No.5, eingetragen 2003-04-09

Zum Thema Restglied R20 Wenn ich mich recht erinnere, ist f(x)=sum(f^(i)(x)/i!*(x-x_0)^i,i=0,n)+R_n(x) R_n(x)=f^((n+1))(z)/(n+1)!*(x-x_0)^(n+1) wobei z irgendein Wert aus dem Entwicklungsgebiet sein kann (Beweis über Mittelwertsatz derDifferentialrechnung). R20 sollte also sein R_20(x)=f^(21)(z)/21!*(x-3)^21 =-2*(-1)^21*18!*z^(-19)*(x-3)^21/21! =(2 z^(-19)*(x-3)^21)/(19*20*21) =(x-3)^21/(3990\. z^19) Dieses Restglied kann man auf einem vorgegebenen Intervall abschätzen, falls nach der Abweichung vom Funktionsterm gefragt wird. [ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2003-04-09 15:58 ]

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