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Analysis » Stetigkeit » Lipschitz-stetig
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Universität/Hochschule Lipschitz-stetig
blindfisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2006-09-02


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[ Nachricht wurde editiert von blindfisch am 02.09.2006 22:53:15 ]



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ygramul
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2006-09-02


Hallo,
auf die schnelle hab ich nur was für die erste Funktion gefunden:
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blindfisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-09-03


Nein, alles klar.
Danke Dir.

Hat jemand ein Beispiel für eine Funktion, die auf einem Kompaktum diff'bar ist, Ableitung beschränkt und dennoch nicht lipschitz-stetig?

MfG
fisch



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2006-09-03


Das kann nicht gehen, weil man die Schranke der Ableitung als Lipschitz-Konstante nehmen kann.

Gruß,
Radix



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blindfisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2006-09-03


Mh, dann ist die Beschränktheit der Ableitung ein hinreichendes Kriterium für die Lipschitzstetigkeit einer Funktion?
[ Nachricht wurde editiert von blindfisch am 03.09.2006 20:35:20 ]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2006-09-03


Hi fisch,
nein, das geht nicht.
Wenn die Ableitung durch L beschränkt ist, dann liegt Lipschitzstetigkeit mit der Konstanten L vor, so einfach ist das.
Antwort auf deinen vorigen Post (03.09.06, 20:34): Ja!
Gruß Buri,
der froh ist, nicht auf ε-δ-Details eingehen zu müssen ...
... außerdem war ich nicht schnell genug.

[ Nachricht wurde editiert von Buri am 03.09.2006 20:39:43 ]



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blindfisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2006-09-03


Mh, wie beweist man das?



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2006-09-03


Hi fisch,
mit dem Schrankensatz, das ist die Fassung des Mittelwertsatzes, wenn man ihn als Ungleichung und nicht als Gleichung (mit Zwischenstelle) schreibt. Der Begriff "Schrankensatz" scheint mittlerweile etabliert zu sein, du kannst im Netz danach suchen.
Gruß Buri



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blindfisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2006-09-03


In einer Dimension gehts aber auch mit Mittelwertsatz, oder?



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2006-09-03


Hi fisch,
ja, du hast es genau getroffen! Fast hätte ich es noch dazugesagt.
Gruß Buri



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2006-09-03


"Wenn die Ableitung durch L beschränkt ist, dann liegt Lipschitzstetigkeit mit der Konstanten L vor, so einfach ist das. "


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Wally



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2006-09-03


Hi Wally,
oh, du hast natürlich vollkommen recht!
Also muß man nicht von Funktionen, die auf einem Kompaktum definiert sind, sprechen, sondern dieses Kompaktum muß außerdem konvex sein, im Eindimensionalen muß es sich also um ein Intervall handeln.
Gruß Buri

[ Nachricht wurde editiert von Buri am 03.09.2006 21:37:40 ]



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garfieldxxs
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2006-09-04


... und wie ist das ganze andersrum?
Ich habe gelesen, dass aus Lipschitz stetig folgt, dass die Funktion "fast überall" stetig differenzierbar ist.

Auf was bezieht sich das "fast"? Heißt das...

1. dass sie überall differenzierbar ist, und nur an endlich vielen Stellen die Ableitung nicht stetig ist aber dennoch existiert...

 oder

2. dass sie grundsätlich stetig differenzierbar ist, aber an endlich vielen Stellen garnicht differenzierbar?

Falls es so wie in 1. gemeint ist - dann kann ich also aus Lipschitz stetig differenzierbar folgern?

viele Grüße, Garfield


[ Nachricht wurde editiert von garfieldxxs am 04.09.2006 07:37:24 ]



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2006-09-04


Dass aus Lipschitz-stetig nicht differenzierbar folgt, demonstriert dir die Betragsfunktion.

Gruß,
Radix



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garfieldxxs
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2006-09-04


oh... ok. Danke!



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2006-09-04


2006-09-04 07:36: garfieldxxs schreibt:
... Auf was bezieht sich das "fast"? Heißt das...

1. dass sie überall differenzierbar ist, ...
 oder
2. dass sie grundsätlich stetig differenzierbar ist, aber an endlich vielen Stellen garnicht differenzierbar?

Hi garfiedxxs,
nein, beides nicht. Aber 2. kommt der Sache schon näher.
Die Menge der Nicht-Differenzierbarkeitsstellen ist eine Lebesguesche Nullmenge, das ist mit "fast überall differenzierbar" gemeint.
Solche Nullmengen können auch unendliche und sogar überabzählbare Mengen sein.
Gruß Buri



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garfieldxxs
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2006-09-04


Ok, super - Danke!!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
leroxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-02-22


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Vielen Dank vorab!



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lula
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Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-02-22


Hallo
 das war ein Tipfehler, es geht ja um sin(1/x) also sollte da stehen :
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bis dann,  lula



-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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