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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Standardskalarprodukt und Orthogonalität
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Universität/Hochschule J Standardskalarprodukt und Orthogonalität
Hans-im-Pech
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.11.2002
Mitteilungen: 6919
  Themenstart: 2003-04-24

Hallo, ich habe ein Problem mit einer LinA-Aufgabe. In einem n-dimensionalen Vetorraum V, gibt es einen k-dimensionalen Untervektorraum U. Gegeben ist eine Basisfolge B von U, sowie eine kxn-Matrix A, deren Zeilen die Basisvektoren von U sind, also die Elemete von B. z.z.: Eine Basis des orthogonalen Komplements zu U, kann man erhalten, wenn man das Gleichungssystem Ax=0 löst. Bisher habe ich: * := Standardskalarprodukt orthogonales Komplement von U: K={v aus V: v*u= 0 für alle u aus U} A hat k linear unabhängige Zeilen, Rang (A)=Zeilenrang(A)=Spaltenrang(A)=k lineare Abbildung: L: x-->Bx hat als Bild ganz U. kern (L)=K ; daher: dim (K)= n-k. Nun löse ich das Gleichungssystem mit Gauß-Algorithmus, und erhalte Basis- und Fehlspalten. Eigentlich hätte ich gedacht, die Basis des orthogonalen Komplements erhalte ich jetzt, wenn ich die Basisspalten gleich 0 setze, und nur noch die Fehlspalten betrachte. Aber ich fürchte, daß haut nicht hin. Kann mir jemand helfen?! Gruß HiP


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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Beitrag No.1, eingetragen 2003-04-24

Hi Hans, ich glaub ich bin in der gleichen Vorlesung wie Du. *hallo sag* :-)) Ich weiß nicht, bei dieser Aufgabe sehe ich irgendwie überhaupt keinen Zusammenhang. Ich verstehe Deinen Weg nicht, weiß nicht, warum das zum Ziel führen soll, oder warum es falsch ist. Schade, hätte Dir gerne geholfen.


 
Siah
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
  Beitrag No.2, eingetragen 2003-04-24

Hi HiP, Anonymous, Also gegeben ist ein Vektorraum und ein Unterraum. Das orthogonale Komplement dieses Unterraums ist doch mal lapidar mit Worten folgendermassen definiert: "Das orthogonale Komplement eines Unterraums U besteht aus der Menge aller Vektoren aus V, die senkrecht auf ALLEN Vektoren aus U stehen". In Formeln: UK:=menge(v aus V| v*u=0 für alle u aus U) Wie testet man, ob ein beliebiger Vektor v im orthogonalen Komplement von U liegt? Man muss verifizieren, dass das Skalarprodukt des Vektors v mit jedem Basisvektor von U Null ist. Man bekommt also ein Lineares Gleichungssystem: Sei v= (v1,v2,...,vn), und ui der i-te Basisvektor von U. Man bekommt k Gleichungen: 1) v*u1 = 0 2) v*u2 = 0 3) v*u3 = 0 ... i)  v*uk = 0 Und das Skalarprodukt kann man auch ausschreiben: zB v*u1 = v1*u11+v2*u12+...+vn*u1n Es ist zugegebenermassen ein wenig unordentlich geraten mit den Indizes, Sorry! Auf jeden Fall haben wir oben doch ein LGS mit k Gleichungen und n Variablen. Möchte man nun alle Vektoren bekommen, die im orthogonalen Komplement von U liegen, so muss man das LGS Ax=0 lösen. Hilft das weiter?


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Hans-im-Pech
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.11.2002
Mitteilungen: 6919
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-24

Hallo, @Siah: Danke für Deine Hilfe. Ich stand irgendwie auf der Leitung. War eigentlich sehr nahe dran an der Lösung. Hab dann gleich- bevor ich Deine Lösung las- noch mit Mitstudenten diskutiert und meinen Denkfehler behoben. Trotzdem danke für deine Hilfe. Gruß HiP @Anonymous: Melde Dich doch einfach an!


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