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| Autor |
  Stetigkeit und Differenzierbarkeit |
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Yung
Junior 
Dabei seit: 25.04.2003
Mitteilungen: 9
 |  Themenstart: 2003-04-26
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Hi, mir ist zu Ohren gekommen das im Abi besonders gerne mal nach Stetigkeit und Differenzierbarkeit gefragt wird, da es für mich nächste Woche soweit ist, mal ne Frage: Reicht es wenn ich die erste Ableitung einer Funktion auf Stetigkeit überprüfe um die Differenzierbarkeit der Funktion zu überprüfen ?
Ich kenne wohl die Definition von Stetigkeit & Differenzierbarkeit mit dem lim aber ich meine wir hätten das in der 12. anders gemacht (Wäre ja auch etwas aufwendig für jeden Punkt des Intervalls eine Grenzwertbetrachtung durchzuführen)
Also wenn z.B. f(x) für einen gegebenen Intervall definiert ist (keine Lücken, Polstellen, ln(x <= 0) usw. hat), kann ich dann sagen sie ist Stetig, und wenn gleiches auf die 1. Ableitung zutrifft ist sie dann Differenzierbar (also ganz allgemein wenn f'(x) stetig ist) ?
MFG
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SchuBi
Senior 
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-04-26
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Beachte bitte folgendes.
Wenn f stetig ist, dann ist f auch differenzierbar.
1. Wenn du eine differnzierbare Funktion (z.B. ganzrational) hast, weißt du damit automatisch, daß sie stetig auf ihrem Definitionsbereich ist.
2. Achte auf die Aufgabenstellung: Wenn du Stetigkeit mit Hilfe der Definition nachweisen sollst, kommst du um den Limes nicht herum.
3. Du wolltest die Funktion darauf überprüfen, ob die Ableitung stetig ist (hat aslo nichts mit deiner Frage zu tun).
Konkret:
Es gibt einen Baukasten stetiger Funktionen (z.B. x^n, e^x, ln(x) ...). Wenn eine Funktion daraus zusammengesetzt worden ist, dann ist sie stetig.
(Da Stetigkeit über Grenzwerte definioert worden ist, vererbt sich die Stetigkeit als Folge der Grenzwertsätze über Summe, Produkt und Verkettung).
Alle Funktionen, die differnzierbar sind, sind innerhalb des Definitionsbereiches der Ableitung stetig.
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Yung
Junior
Dabei seit: 25.04.2003
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-26
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Danke das hilft mir schonmal weiter :)
Hätte aber noch 2 Fragen zu deinem Posting:
1.) zu 3. Ich meinte damit ob ich von der Stetigkeit der Ableitung Rückschlüsse auf die Differenzierbarkeit der Funktion ziehen kann,
wenn ich irgendeine Funktion habe deren Ableitung an Stelle Xa nicht Stetig ist, bedeutet das dann das f(x) an der Stelle Xa nicht differenzierbar ist ? (Da die Ableitung ja an dem Punkt nicht definiert ist und die Funktion bei Xa ja stetig sein kann).
2.) Betrifft den Baukasten ;) Was ist denn bei ln(x), das ist doch bei x kleiner oder gleich 0 nicht definiert also auch nicht stetig oder ?
MFG
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.3, eingetragen 2003-04-26
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Die Aussage, dass stetige Funktionen generell Differenzierbar sind, ist
falsch, wie folgendes Bsp. zeigen wird.
Ich habe mir die Lösungen zu den Abituraufgaben 2002 gekauft, und
bin dabei gleich auf einen groben Fehler gestoßen, der zu diesem Thema
passt:
Gegeben ist die Funktion:
f(x) = abs(-1/3*x^2+2x)
Diese soll nun auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit an der Stelle x0
untersucht werden.
Dazu der Lösungsvorschlag für die Stetigkeit:
f(x) = abs(-1/3*x^2+2x) = fdef(-1/3*x^2+2x,x >= 0;1/3*x^2-2x,x < 0)
#Stetigkeit an der Stelle x = 0:
#(1) f(0) existiert, also
f(0) = abs(-1/3*0^2+2*0) = 0
#(2) lim (x ->0) f(x) existiert, also
lim(x>0,lim(x->0,abs(-1/3*x^2+2x))) = lim(x>0,lim(x->0,(-1/3*x^2+2x)))
lim(x<0,lim(x->0,abs(-1/3*x^2+2x))) = lim(x<0,lim(x->0,(-(-1/3*x^2+2x))))
#und damit gilt:
lim(x>0,lim(x->0,f(x))) = lim(x<0,lim(x->0,-f(x)))
#(3) f(0) = lim (x->0) f(x), also 0 = 0 wahre Aussage;
#damit ist gezeigt, dass die Funktion f an der Stelle x = 0
#stetig ist.
Nichts wurde gezeigt!!!
Wenn man sich den Beweis genau anschaut, fällt auf, das ihre
fallweise definierte Funktion anstelle der Betragsfunktion (gleich
zu Beginn) falsch ist, da bei hinreichend großem x die Funktion nach
der fallweisen Definition trotzdem negativ wird, obwohl sie das nach
Definition (Betragsfunktion!) nicht sein dürfte.
Als andere baut praktisch auf diesem Fehler auf. Glücklicherweise
(zumindest für die Typen, die sich die Aufgaben ausgedacht haben)
findet an der Stelle x = 0 ein Vorzeichenwechsel der Funktion statt
(da x = 0 eine Nullstelle der Funktion ist), sodass die fallweise
Definition nur für einen sehr begrenzen Bereich, jedoch in diesem Falle
ausreichend, gültig ist (bis zur nächsten Nullstelle).
So und jetzt meine Frage: Wie würde man die Stetigkeit + Differenzier-
barkeit mathematisch exakt an der Stelle x = 0 nachweisen.
Oder ist eventuell doch der Lösungsvorschlag richtig und ich habe
irgendetwas übersehen (sehr unwahrscheinlich)???
Vielen Danken schonmal im Vorraus!
mfg Steffen
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SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
|  Beitrag No.4, eingetragen 2003-04-27
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@Yung:
1. Wenn du die Stetigkeit der Ableitung nachweist, hast du damit schon die Differenzierbarkeit deiner Ausgangsfunktion.
2. Auf seinem Definitionsbereich (x > 0) ist der Logarithmus natürlich stetig (dort wo er nicht definiert ist, kann er nicht stetig sein, weil man einen Funktionswert braucht um auf Stetigkeit zu prüfen)
@Anonymous:
f(x)=abs(-1/3|x^2+2x^2)=abs(-1/3|x(x-6))
=fdef(1/3|x^2-2x,x<0;-1/3|x^2+2x^2,0<=x<=6;1/3|x^2-2x,x>6)
=fdef(-1/3|x^2+2x^2,0<=x<=6;1/3|x^2-2x,x<0|oder|x>6)
Bei einer Grenzwertuntersuchung an der Stelle x=0 kommt es ja nicht darauf an, was die Funktion "weit weg" von 0 macht, sondern nur in der "unmittelbaren Nähe" von 0. Trotzdem hast du mit deiner Kritik recht (Sie hätten die Funktion eben in drei Äste aufteilen müssen - man sieht an der Gleichung, daß 0 und 6 Nullstellen sind, also kann sich nur dort das Vorzeichen ändern). Die Lösung weist also die Stetigkeit an der Stelle 0 nach. (Ein Tip: Es sieht sehr verwirrend aus mit dem doppelten Limes (lim x > 0 lim x -> 0) - eine Alternative wäre r-lim (für rechtsseitig) bzw l-lim oder lim x-> 0+0 .. (für rechtseitig))
Für die Differenzierbarkeit ist noch zu zeigen:
lim(h->0,(f(0+h)-f(0))/h)=lim(h->0,f(h)/h)|existiert
lim(h->0+0,f(h)/h)= lim(h->0+0,(-1/3|h(h-6)/h)|(rechtsseitig)
= lim(h->0+0,(-1/3|(h-6)))=2
lim(h->0-0,f(h)/h)= lim(h->0-0,(1/3|h(h-6)/h)|(linksseitig)
= lim(h->0-0,(1/3|(h-6)))=-2
Also ist f an der Stelle 0 nicht differenzierbar (links- und rechtsseitiger Limes sind unterschiedlich)
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[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2003-04-27 09:32 ]
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
 | Beitrag No.5, eingetragen 2003-04-27
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Es sei jedoch noch erwähnt, daß es heißen muß:
Ist f differenzierbar, so ist f auch stetig!
Nicht umgekehrt. Du hast dich da oben wohl verschrieben, Schubi.
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Yung
Junior
Dabei seit: 25.04.2003
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-27
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SchuBi Jetzt bin ich schon wieder verwirrt ;-)
Meinst du damit (zu 1.) das ich wenn ich die 1. Ableitung überhaupt bilden kann, schon Differenzierbarkeit der Ausgangsfunktion nachweisen kann, oder weise ich Differenzierbarkeit nach indem ich die Stetigkeit der 1. Ableitung überprüfe ?
Also kann ich allgemein sagen eine Ausgangsfunktion ist differenzierbar wenn ihre 1. Ableitung stetig ist ?
MFG
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SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
|  Beitrag No.7, eingetragen 2003-04-27
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So ist es!
Wenn du die Ableitung bilden kannst, dann ist f differenzierbar.
Du hast versucht, die Stetigkeit der Ableitung nachzuweisen.
Bedenke: Es gibt auch Funktionen, deren ABleitung nicht stetig ist.
Achte beim Abi darauf, was die Pauker von dir wollen (ob mit Definition Stetigkeit/Differenzierbarkeit - dann kommst du an den Grenzwerten nicht vorbei - oder mit einer Begründung)
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